3. Ранги и ранжирование

Ранг наблюдения – тот номер, кот. получит это наблюдение в упорядоченной совокупности всех данных после их упорядочивания по опред. Правилам (от меньших значений к большим и наоборот). Процедура перехода от совокупности наблюдений последовательности их рангам наз. ранжированием и результат – ранжировка. В общем случае ранжирование - процедура упорядочения лю­бых объектов по возрастанию или убыванию некоторого их свой­ства при условии, что они этим свойством обладают. Основание ранжирования - свойство, по кот. объекты упорядочиваются. В резуль­тате упорядочения получаем - ранжированный ряд. В нем каждому объекту приписывается ранг - место в этом ряду. Число мест и, соответственно, число рангов равно числу объектов. Обратите вни­мание на различие между ранжированием и измерением по поряд­ковой шкале. В последнем случае речь шла о том, что респондент получает оценку по порядковой шкале. При этом оценка получена либо на основе приписывания «цифры» вариантам ответа (измере­ние как кодирование), либо по логическому квадрату, либо по шка­ле Лайкерта, либо по шкале Гуттмана. Но на основе этих оценок можно провести и ранжирование респондентов. Объекты ранжирования могут быть либо все разными с точки зрения выраженности в них заданного свойства, либо некоторые объекты могут быть неразличимыми, как в случае только что рас­смотренных примеров измерения по порядковой шкале. В первом случае все ранги будут различны, а во втором случае появятся оди­наковые ранги. Они называются связанными рангами.

4. Меры центральной тенденции (Мода, медиана, среднее. Свойства среднего).

Мода – числовое значение, кот. встречается в выборке наиболее часто, иногда обозначается Х. Моду находят по след. Правилам: в том случае, когда все значения в выборке встречаются одинаково часто, принято считать, что этот выборочный ряд не имеет моды; когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, мода вычисляется как среднее арифметическое этих двух значений. Если два несмежных значения в выборке имеют равные частоты, кот. больше частот любого другого значения, то выделяют две моды. Медиана – величина, по отношению к кот., по крайней мере 50% выборочных значений меньше нее и, по крайней мере, 50% - больше. Можно дать второе определение, сказав, что медиана – значение, кот. делит упорядоченное множество данных пополам. Среднее- сумма значения и их кол-во. Интерпретация мер центральной тенденции: моду используют тогда, когда много значений она тождественна типичному, в др случаях модой не пользуются; средняя более точная величина чем медиана, т.к. зависит не только от кол-ва но и от самого значения; медиана не зависит от крайних значений, она более грубая величина предпочтительней использовать средние значения, т.к. они сохраняют все показатели; в симметрично унимодальном распределении мода, медиана и средняя совпадают.

5. Меры изменчивости: дисперсия, стандартное отклонение, асимметрия, эксцесс.

Дисперсия. Подсчет дисперсии основан на вычислении отклонений каждого значения показателя от среднего арифметического в распределении. Для инд. баллов значения отклонений несут информацию о вариации совокупности значений баллов N учеников, т. е. отражают меру неоднородности результатов по тесту. Совокупность с большей неоднородностью будет иметь большие по модулю отклонения, наоборот, для однородных распределений отклонения должны быть близки к нулю. Знак отклонения указывает место результата ученика по отношению к среднему арифметическому по тесту. Для ученика с индивидуальным баллом выше среднего значение разности будет положительно, а для тех, у кого результат ниже , отклонение меньше нуля. Стандартное отклонение. Кроме дисперсии, для характеристики меры изменчивости распределения удобно использовать еще один показатель вариации, который называется стандартным отклонением. Стандартное отклонение равно корню квадратному из дисперсии: Дисперсия играет важную роль в оценке качества нормативно-ориентированных тестов. Слабая вариация результатов испытуемых указывает на низкое качество теста. Низкая дисперсия инд. баллов говорит о слабой дифференциации испытуемых по уровню подготовки в тестируемой группе. Излишне высокая дисперсия, характерная для случая, когда все учащиеся отличаются по числу выполненных заданий, также грозит неприятными последствиями и требует переработки теста. Превышение разумных пределов величины дисперсии приводит к искажению вида распределения, кот. начинает существенно отличаться от планируемой теоретической нормальной кривой. Использовать какой-либо из существующих критериев для проверки нормальности распределения в практике довольно неудобно. Поэтому зачастую руководствуются простым соотношением. Для этого величину X сравнивают с утроенным стандартным отклонением. Если это равенство выполняется, то дисперсия оптимально высока и можно принять гипотезу о нормальности распределения. Наличие асимметрии легко установить визуально, анализируя полигон частот или гистограмму. Более тщательный анализ можно провести с помощью обобщенных статистических характеристик, предназначенных для оценки асимметрии в распределении. Наиболее удачная формула . Эксцесс. С помощью эксцесса можно получить представление о том, являются ли полигон частот или гистограмма островершинными или плоский. Обычно эксцесс вычисляется по формуле . При интерпретации полученных оценок эксцесса необходимо помнить о том, что понятие применимо лишь к унимодальным распределениям. Интерпретация результата, указывающего на крутизну кривой распределения, возможна в сравнительно небольшой окрестности моды и теряет свой смысл по мере удаления вдоль кривой. В том случае, когда распределение данных бимодально (имеет две моды), необходимо говорить об эксцессе в окрестности каждой моды. Бимодальная конфигурация указывает на то, что по результатам выполнения теста выборка учеников разделилась на две группы.