2. Даны три вектора

={0; –1; 3},

={1; 0; 2},

= 3i+2j.

Требуется найти:

а) вектор = 2 - 2 + 3 , его модуль, направляющие косинусы, орт ;

б) скалярное произведение ( + , - );

в) векторное произведение [ + , - ];

г) смешанное произведение ( , , ).

Решение.

а) заметим, что векторы и заданы в декартовом базисе, а значит, могут быть представлены в виде разложения по базису i, j, k:

= – j +3k; = i + 2k. Тогда искомый вектор

= 2 - 2 + 3 = 2(– j +3k) - 2(i + 2k) + 3(3i + 2j).

Воспользуемся свойством дистрибутивности операции умножения относительно сложения векторов, ассоциативности и коммутативности:

= 2(– j +3k) + 2(-i– 2k) + 3(3i + 2j).

Применим свойство ассоциативности операции сложения, тогда:

= – 2j +6k -2i– 4k + 9i + 6j.

Используем свойство коммутативности операции сложения:

= -2i + 9i – 2j + 6j +6k - 4k.

Применим свойство дистрибутивности операции умножения относительно сложения чисел и получим ответ:

= 7i + 4j + 2k.

Зададим в декартовом базисе: = {7; 4; 2}

Запишем формулу для вычисления модуля вектора .

|d| = = = = .

1. Направляющие косинусы вектора можно найти, воспользовавшись формулами:

cos α = ; cos β = ; cos γ = .

cos α = ; cos β = ; cos γ = .

Чтобы найти орт вектора, необходимо этот вектор поделить на его модуль:

= .

= = ( ; ; .

б) скалярное произведение векторов = {x₁, y₁, z₁} и = {x₂, y₂, z₂}

в координатной форме в декартовом базисе имеет вид:

( ) = x₁ x₂ + y₁ y₂ + z₁ z₂ (2.3)

По условию задачи = + , = - . По аналогии с пунктом а) вычислим и :

= (– j +3k) + (3i+2j) = 3i + j+3k.

= (i + 2k) – (– j +3k) = i + j - k.

Вычислим скалярное произведение по формуле (2.3)

( + , - ) = (3i + j+3k, i + j - k) = 3 + 1 -3 = 1.

в) векторное произведение векторов = {x₁, y₁, z₁} и = {x₂, y₂, z₂} в координатной форме в декартовом базисе имеет вид:

[ , ] = (2.4)

Воспользуемся результатами вычисления координат векторов и из предыдущего пункта б) = (– j +3k) + (3i+2j) = 3i + j+3k , = (i + 2k) – (– j +3k) = i + j - k и подставим их в формулу (2.4). Получим:

[3i + j+3k, i + j - k] = = - + = -4 + 6 +2 .

г) смешанное произведение векторов = {x₁, y₁, z₁}, = {x₂, y₂, z₂} и = {x₃, y₃, z₃} в координатной форме имеет вид:

, , ) = (2.5)

Подставим координаты векторов , и в формулу (2.5) и вычислим определитель, разлагая его по первой строке:

, , ) = = 0∙ + + 3∙ = 0 – 6 +6 = 0

2. Найти модули векторов = 3 + 2 , = - , | =5, =2, ( ) = .

Решение. Модуль суммы двух векторов можно вычислить, используя теорему косинусов = + + 2 cos( ).

Имеем:

= = + + 2 cos = 225 + 16 = 241

|

= = + - 2 cos = 25 + 4 = 29

| .

3. Даны три вершины параллелограмма ABCD А(–4; –2; 0), B(–1; –2; 4), C(3; –2; 1).

Найти:

а) координаты четвёртой вершины D;

б) длину высоты, опущенной из вершины D на сторону AB;

в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD.

Решение. Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 2.2).

а) заметим, что стороны параллелограмма попарно параллельны, а значит, векторы и равны (с учетом направления)

= (2.6)

Обозначим координаты искомой точки D(x; y; z) и найдем координаты векторов и . Как известно, координаты вектора по двум точкам находятся как разность соответствующих координат конечной и начальной точки:

= {-1 – (-4); -2 – (-2); 4-0} = {3; 0; 4}

= {3-x; -2 – y; 1-z}.

Запишем равенство (2.6) в координатной форме:

откуда находим координаты точки D(0; –2; –3).

б) для того, чтобы найти высоту DD', опущенную из вершины D на сторону AB (рис. 2.2), используем известную формулу площади параллелограмма S = a∙h , где а – длина основания, h –высота параллелограмма. Отсюда

h = (2.7)

В нашем случае h = | DD' |, а = . Площадь параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах, может быть найдена как модуль векторного произведения векторов :

S = |[ ]|.

Подставляя данные нашей задачи в (2.7), запишем общую формулу для вычисления длины высоты:

| DD' | = (2.8)

Координаты вектора мы уже знаем, найдем координаты вектора :

= {0 – (-4); -2 – (-2); -3-0} = {4; 0; -3}.

Вычислим длину вектора | |:

| | = = = 5.

Вычислим векторное произведение векторов и :

[ , ] = = - + = 25 .

| [ , ] | = 25. Подставим полученные значения длин векторов в (2.8) и получим длину высоты, опущенной из точки D на основание АВ:

| DD' | = = 5.

в) косинус угла φ между векторами и равен отношению скалярного произведения векторов и к произведению их длин:

соs φ = (2.9)

На диагоналях параллелограмма построим векторы и и будем искать косинус угла между этими векторами.

= {3 – (-4); -2 – (-2); 1-0} = {7; 0; 1},

= {0 – (-1); -2 – (-2); -3-4} = {1; 0; -7}.

Вычислим длины векторов и :

| | = = = ,

| | = = = .

Вычислим скалярное произведение векторов и :

, = 7∙1 + 0∙0 + 1∙(-7) = 0.

Подставим полученные значения в (2.9) и найдем косинус угла между диагоналями AC и BD:

соs φ = = 0.