1. Составить уравнение прямой, проходящей

а) через точку A(–1; 2) параллельно прямой 7x – 3y +1 = 0;

б) через точку A(–1; 2) перпендикулярно прямой = ;

в) через точку A(–1; 2) и точку B(3; 3). Построить все прямые.

Для каждой прямой записать вектор нормали N , направляющий вектор σ и угловой коэффициент k .

Решение. Обозначим заданные прямые:

l₁ : 7x – 3y +1 = 0, l₂ : = ,

а искомые прямые l_а, l_б, l_в.

а) из данного уравнения прямой l₁ : 7x – 3y +1 = 0 имеем = {7; -3} –

вектор нормали. Так как l_а | | l₁, то вектор = {7; -3} будет также вектором нормали для искомой прямой l_а. По условию задачи точка и прямая заданы на плоскости (две координаты). Воспользуемся формулами общего уравнением прямой в координатной форме:

A (x-x₀) + B (y-y₀) = 0,

где роль точки А₀ (x₀, y₀) будет выполнять точка А (-1; 2), а вектор нормали = {A; B} = {7; -3}. Подставим x₀, y₀, А, В в уравнение и получим:

l_а: 7( x – (-1)) -3(y-2) = 0 => 7x – 3y +13 = 0.

Найдем направляющий вектор. Для этого приведем уравнение l_а к каноническому виду:

= :

7x – 3y +13 = 0 => 7x = 3y – 13 => = ,

Где направляющий вектор σ_а {3;7}.

Найдем угловой коэффициент. Для этого приведем уравнение l_а к уравнению с угловым коэффициентом y = kx + b:

7x – 3y +13 = 0 => 3y = 7x + 13 => y = + , где угловой коэффициент k = .

б) из данного уравнения прямой l₂ : = имеем σ₂ {-2;4} – направляющий вектор. Так как l_б ﬩ l₂, то направляющий вектор прямой l₂ будет служить вектором нормали искомой прямой l_б:

= = {А; В}.

Воспользуемся общим уравнением прямой в координатной форме:

A (x-x₀) + B (y-y₀) = 0,

где роль точки А₀ (x₀, y₀) будет выполнять точка А (-1; 2), а вектор нормали = {A; B} = {-2; 4}.

l_б: -2( x – (-1)) +4(y – 2) = 0 => -2x +4y -10 = 0. Вектор нормали = {-2; 4}. Найдем направляющий вектор. Для этого приведем уравнение l_б к каноническому виду:

= :

-2x + 4y - 10 = 0 => -2x = -4y +10 => = ,

Где направляющий вектор σ_б {-4;-2}.

Найдем угловой коэффициент. Для этого приведем уравнение l_б к уравнению с угловым коэффициентом y = kx + b:

-2x + 4y - 10 = 0 => 4y = 2x + 10 => y = 0,5x + 2,5, где угловой коэффициент k = 0,5.

в) воспользуемся формой уравнения прямой по двум точкам:

= ;

где роль точки А₀ (x₀, y₀) будет выполнять точка А (-1; 2), а А₁ (x₁, y₁) – точка

B(3; 3). Подставим данные и получим:

l_в: = => = , где σ_в {4;1}.

Найдем вектор нормали. Для этого преобразуем l_в к уравнению общего

Вида Ax + By + D = 0.

(x+1) = 4(y-2) => x – 4y + 9 = 0, где вектор нормали = {1; -4}.

Найдем угловой коэффициент. Для этого приведем уравнение l_б к уравнению с угловым коэффициентом y = kx + b:

4y = x + 9 => y = 0,25x + 2,25, где угловой коэффициент k = 0,25.

Построим все три прямые:

2. Даны три прямые l₁ : 2x + y + 3 = 0, l₂ : = , l₃ :

Исследовать взаимное расположение прямых l₁ и l₂, l₁ и l₃. Для

каждой пары прямых найти:

а) координаты точки пересечения или расстояние между прямыми;

б) косинус угла между прямыми.

Решение. Две прямые на плоскости могут либо пересекаться, либо располагаться параллельно. Поэтому, для выяснения взаимного расположения прямых, используем свойства параллельности (коллинеарности) их направляющих векторов. Уравнение прямой l₁ задано в общем виде. Преобразуем его в каноническое:

l₁ : 2x + y + 3 = 0 => 2x = -y – 3 => = . Из канонического уравнения находим направляющий вектор = {-1;2}. Прямые l₁ и l₃ заданы в канонической и параметрической форме. Следовательно, выписываем направляющие векторы этих прямых = {2;1}, = {-1;2}. Проверим условие коллинеарности векторов .

= λ   = = λ – ложно.

Получили ложное утверждение, следовательно, прямые l₁ и l₂ не параллельны, они пересекаются. Проверим условие коллинеарности для векторов .

= λ   = = λ – истинно.

Получили истинное выражение, значит прямые l₁ и l₃ параллельны.

а) найдем точку пересечения для прямых l₁ и l₂. Для этого решим совместно их уравнения:

  

5y +11 = 0

y = .

 

Таким образом, координаты точки пересечения прямых l₁ и l₂ О( , ).

Найдем расстояние h между прямыми l₁ и l₃ (рис. 3.2)

Для этого выберем на каждой прямой точку М₁ и М₂ (это легко сделать по каноническому уравнению прямых), построим вектор и найдем проекцию на вектор нормали одной из прямых, например, = {2,1}, который известен из общего уравнения прямой l₁. Из канонического уравнения для l₁ выпишем М₁(0, -3), из уравнения для l₃: М₂(2, 1).

= {2, 4},

Пр_N1 ( ) = = = .

б) найдем косинус угла между прямыми l₁ и l₂ как косинус угла между направляющими векторами = {-1;2} и = {2;1}.

Соs ( ) = = = 0.

Косинус угла между параллельными прямыми l₁ и l₃ равен 1.

3. Привести уравнения линий к каноническому виду, назвать и построить кривые:

а) 4 – 9 – 36y – 72 = 0;

б) x = 9 - 2 ;

в) + – 4x – 4y – 1=0;

г) + 2x + 6y + 11 = 0.

Решение. Решая эту задачу, будем пользоваться таблицей 3.4 канонических уравнений кривых 2-го порядка.

а) 4 – 9 – 36y – 72 = 0

Приведем уравнение к каноническому виду. Для этого сгруппируем переменные:

Вынесем общий множитель -9 из трех последних слагаемых:

4 – 9 + 4y + 8) = 0.

Заметим, что выражение в скобке + 4y + 8 похожа на полный квадрат. Распишем: + 4y + 4 + 4 = + 4. Получим:

4 – 9( + 4) = 0. Раскроем скобки:

4 – 9 -36 = 0.

Перенесем 36 в правую часть:

4 – 9 = 36

Поделим каждый член уравнения на 36 и получим уравнение гиперболы:

- = 1, где О (0, -2) – центр гиперболы, 3 и 2 – полуоси.

б) x = 9 - 2

Перенесем 9 влево, получим:

x – 9 = -2 .

Возведем обе части в квадрат:

= 4 (

Разделим обе части уравнения на 4:

=

Выделим в правой части полный квадрат:

= + 4.

Перенесем слагаемое, содержащее y в левую часть уравнения:

- = 4.

Поделим обе части уравнения на 4 и получим уравнение гиперболы:

- = 1, где О (9, -2) – центр гиперболы, 4 и 2 – полуоси

Вспомним, что в первоначальном задании x был без квадрата. не может быть меньше 0. Таким образом х не может быть больше, чем 9. Исключим из графика гиперболы правую ветвь:

в) + – 4x – 4y – 1=0

Сгруппируем отдельно иксы и игреки и сконструируем полные квадраты:

– 4x + 4 – 4 + – 4y + 4 – 4 – 1 = 0

+ – 9 = 0 =>

+ = 9.

Получили окружность с центром в точке О (2, 2) и радиусом 3:

г) + 2x + 6y + 11 = 0

Перенесем х в правую сторону уравнения:

+ 6y + 11 = -2x

Сконструируем полный квадрат в левой части уравнения:

+ 6y + 9 + 2 = -2x

= -2x – 2.

Вынесем в правой части уравнения общий множитель:

= -2 (x + 1).

Получили параболу, где О ( -1, -3) – вершина параболы, а фокальный параметр равен -1: