§ 9. Зависимость между сферическими прямоугольными координатами эллипсоида и плоскими прямоугольными координатами в проекции Гаусса
Главные радиусы кривизны в данной точке эллипсоида.
Если бы Земля имела форму шара радиуса R, то кривизна ее поверхности во всех точках была бы постоянной и одинаковой, равной , а координаты любой точки на ее поверхности зависели бы от B и L (рис. 5).
В действительности, как было отмечено выше, Земля близка по форме к эллипсоиду вращения с разными размерами полуосей (§6). Таким образом, кривизна земной поверхности меняется от точки к точке, а значит координаты любой точки будут зависеть не только от B и L , но и от кривизны земной поверхности, то есть от главных радиусов кривизны эллипсоида [9].
Через нормаль к поверхности эллипсоида (рис. 5) можно провести бесчисленное множество плоскостей. Эти плоскости, перпендикулярные к касательной плоскости к поверхности эллипсоида в данной точке, называются нормальными. Кривые, образуемые от пересечения нормальных плоскостей, проведенных в данной точке, с поверхностью эллипсоида, называются нормальными сечениями. В каждой точке эллипсоида существуют два взаимно перпендикулярных нормальных сечения, кривизна которых имеет максимальное и минимальное значение; эти нормальные сечения называются главными нормальными сечениями.
В некоторой точке M (рис 10) поверхности земного эллипсоида главными нормальными сечениями, как известно из дифференциальной геометрии, являются:
Рис.10
-меридианальное сечение, проходящее через данную точку M, и оба полюса эллипсоида P и P1 (на рис. 10 меридианальное сечение в точке M представляются эллипсом PME1P1E);
-сечение первого вертикала, проходящее через точку M и перпендикулярное меридианальному сечению точки M.
Сечение первого вертикала изображено на рис. 9 кривой WME, представляющей собой также эллипс. Обозначим через M и N радиус кривизны меридиана и первого вертикала и запишем соответственно [9]:
(5)
(6)
где a – большая полуось эллипсоида;
e2 – квадрат первого эксцентриситета меридианального сечения;
B - геодезическая широта точки M.
Зависимость между сфероидическими и плоскими прямоугольными координатами.
Точка A (рис. 11) на земном эллипсоиде имеет сферические координаты ХА , YА и расположена в 6-ти градусной зоне на некотором удалении (YА) от осевого меридиана.
Рис. 11
Так как по условию проекции осевой меридиан зоны касается боковой поверхности цилиндра, то после проектирования и развертки боковой поверхности цилиндра абсцисса ХА изобразится на плоскости величиной хА без искажений (рис. 12), то есть
хА =ХА (7)
Ордината YА получает искажение и после проектирования вычисляется по формуле:
(8)
Сферические прямоугольные координаты точки A находятся по формулам:
(9)
(10)
где R – радиус кривизны Земли
φ – широта точки А
l – угловое расстояние точки A от осевого меридиана (разность долгот точки A и осевого меридиана);
Рис. 12
Формулы 9 и 10 справедливы, если Землю принять за шар; в действительности же, мы знаем, Земля близка по форме к эллипсоиду вращения и зависимость между плоскими прямоугольными координатами и сфероидическими координатами намного сложнее.
В литературе [9] приводится сложный вывод этих формул, мы же ограничимся конечным результатом и запишем:
(11)
(12)
где ĺ - длина дуги в секундах по параллели от осевого меридиана зоны до точки А; находится как разность долгот данной точки и осевого меридиана.
(13)
В - геодезическая широта точки;
LА - геодезическая долгота точки;
Lo - геодезическая долгота осевого меридиана зоны (находится по формуле 4);
N - радиус кривизны первого вертикала (берется из таблицы [5]; или выполняется по формуле 6);
ХА - приближенная абсцисса точки (берется из таблицы [5]);
;
=
0,0067385
-
второй эксцентриситет меридианного
эллипса
