6.2.1. Свойства дисперсии

Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. D(C) = 0, где С – постоянная величина.

Доказательство. По определению дисперсии с использованием свойства математического ожидания, получим

D(С) = M[(С – M(С))²]= M[(С – С)²] =М(0)= 0.

Этот результат достаточно очевиден, так как постоянная величина принимает всего одно значение, поэтому разброс значений отсутствует.

Свойство доказано.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. D(СX) = С²D(X).

Доказательство. По определению дисперсии с использованием свойств математического ожидания, получим

D(СХ) = M[(СХ – M(СХ))²]= M[(СХ – СM(Х))²]= M[С²(Х – M(Х))²]=

= С²M[(Х – M(Х))²]= С²D(X).

Свойство доказано.

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е., если величины Х и Y независимы, то

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Доказательство. Для доказательства применим формулу (6.7) и свойства математического ожидания, получим

D(X+Y) = M((X+Y)²) – M²(X+Y)= M(X²+2XY+Y²) – (M(X+Y))²=

= M(X²) + M(2XY) + M(Y²) – (M(X)+M(Y))² = M(X²) + 2M(X)M(Y) + M(Y²) – – M²(X) – 2M(X)M(Y) - M²(Y) = M(X²) – M²(X) + M(Y²) – M²(Y) = D(X) + D(Y).

Свойство доказано.

Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых величин равна сумме дисперсий этих величин.

Доказательство можно провести методом математической индукции_.

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. D(X – Y) = D(X) + D(Y).

Доказательство. Применяя второе и третье свойства дисперсии, получим D(X – Y) = D(X) + D(– Y) = D(X) + (–1)²D(Y) = D(X) + D(Y).

Свойство доказано.

Доказанное свойство также легко распространить на любое конечное число независимых случайных величин.

Пример 6.9. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х, равной числу появлений события А в n независимых испытаниях, если вероятность появления А в каждом испытании постоянна и равна р.

Решение. Пусть случайная величина Х – число появлений события А в n испытаниях.

Введем в рассмотрение еще n случайных величин:

Х₁ – число появлений события А в первом испытании;

Х₂ – число появлений события А во втором испытании;

…………………………………………………………….

Х_n – число появлений события А в n – ом испытании.

Очевидно, что Х=Х₁+Х₂+…+Х_n. Величины Х₁, Х₂, …, Х_n взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных. Воспользуемся следствием четвертого свойства дисперсии, получим

D(X) = D(X₁) + D(X₂) + …+ D(X_n).

Найдем дисперсию величины Х₁. Ряд распределения этой величины имеет вид:

Х1	0	1
Р	1−р	р

Тогда М(Х₁) = р; М(Х₁²) = р; D(X₁) = р – р² = р(1 – p)=pq.

Очевидно, что дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq. Поэтому

D(X) = D(X₁)+D(X₂)+…+D(X_n) = npq. ■

Если исследуется некоторая случайная величина, у которой значения являются достаточно большими числами, то существует возможность перейти от этой величины к более простым величинам, называемым центрированной и стандартной.