6.3. Понятия центрированных и стандартны случайных величин

Пусть дана некоторая случайная величина Х. Тогда из нее можно образовать другую случайную величину, называемую центрированной.

Центрированной случайной величиной называется случайная величина, равная отклонению некоторой случайной величины Х от своего математического ожидания.

Следовательно, по определению отклонения, центрированная величина – это величина вида Х – М(Х).

Выше было показано, что математическое ожидание отклонения равно нулю. Найдем дисперсию отклонения. Получим

D(X – M(X)) = D(X) + D(M(X)) = D(X) + 0 = D(X).

Итак, справедлива

Теорема 6.2. Дисперсии случайных величин Х и Х – М(Х) равны между собой.

Отметим, что центрирование случайной величины геометрически означает перенос начала координат в точку с абсциссой, равной математическому ожиданию.

Центрированная случайная величина, как и обычная случайная величина, имеет свою размерность. Иногда бывает удобно использовать безразмерные величины, т. е. величины, значения которых не зависят от того, в каких единицах измеряется случайная величина. Разделим величину Х – М(Х) на среднеквадратичное отклонение σ(Х), имеющее ту же размерность, что и отклонение. Вновь полученную случайную величину назовем стандартной.

Стандартной случайной величиной Z называется величина вида , где Х – произвольная случайная величина.

Теорема 6.3. Математическое ожидание стандартной случайной величины равно нулю, а дисперсия равна 1.

Доказательство. Найдем вначале математическое ожидание стандартной величины, используя свойства математического ожидания, получим:

.

Дисперсию определим тоже на основании свойств дисперсии, а также предыдущей теоремы, получим

.

Теорема доказана.

6.4. Начальные и центральные моменты

Особое значение для характеристики распределения случайной величины имеют числовые характеристики, называемые начальными и центральными моментами.

Начальным моментом k-го порядка α_k(Х) случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой величины, т.е.

α_k(Х) = М(Х^k) (6.8)

Формула (6.8) в силу определения математического ожидания для различных случайных величин имеет свой вид, а именно, для дискретной случайной величины с конечным множеством значений

; (6.9)

для непрерывной случайной величины

, (6.10)

где f(x) - плотность распределения случайной величины Х.

Несобственный интеграл в формуле (6.10) превращается в определенный интеграл по конечному промежутку, если значения непрерывной случайной величины имеются только в этом промежутке.

Одна из ранее введенных числовых характеристик – математическое ожидание – является не чем иным, как начальным моментом первого порядка, или, как говорят, первым начальным моментом:

М(Х) = α₁(Х).

В предыдущем пункте было введено понятие центрированной случайной величины Х – М(Х). Если эту величину рассматривать в качестве основной, то для нее также могут быть найдены начальные моменты. Для самой величины Х эти моменты будут называться центральными.

Центральным моментом k-го порядка μ_k(Х) случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени центрированной случайной величины, т.е.

μ_k(Х) = М[(Х – М(Х))^k] (6.11)

Иначе говоря, центральный момент k-го порядка – это математическое ожидание k-ой степени отклонения.

Центральный момент k-го порядка для дискретной случайной величины с конечным множеством значений находится по формуле:

, (6.12)

для непрерывной случайной величины по формуле:

(6.13)

В дальнейшем, когда будет понятно о какой случайной величине идет речь, то ее в обозначениях начальных и центральных моментах писать не будем, т.е. вместо α_k(Х) и μ_k(Х) будем писать просто α_k и μ_k.

Очевидно, что центральный момент первого порядка равен нулю, так как это ни что иное, как математическое ожидание отклонения, которое равно нулю по ранее доказанному, т.е. .

Нетрудно понять, что центральный момент второго порядка случайной величины Х совпадает с дисперсией этой же случайной величины, т.е.

Кроме этого, существуют следующие формулы, связывающие начальные и центральные моменты:

Итак, моменты первого и второго порядков (математическое ожидание и дисперсия) характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разброса значений. Для более подробного описания распределения служат моменты более высоких порядков. Покажем это.

Предположим, что распределение случайной величины симметрично относительно своего математического ожидания. Тогда все центральные моменты нечетного порядка, если они существуют, равны нулю. Это объясняется тем, что в силу симметричности распределения для каждого положительного значения величины Х − М(Х) существует равное ему по модулю отрицательное значение, при этом вероятности этих значений равны. Следовательно, сумма в формуле (6.12) состоит из нескольких пар, равных по модулю, но разных по знаку слагаемых, которые при суммировании взаимно уничтожаются. Таким образом, вся сумма, т.е. центральный момент любого нечетного порядка дискретной случайной величины равен нулю. Аналогично, центральный момент любого нечетного порядка непрерывной случайной величины равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции.

Естественно предположить, что если центральный момент нечетного порядка отличен от нуля, то и само распределение не будет симметрично относительно своего математического ожидания. При этом, чем больше центральный момент отличается от нуля, тем больше асимметрия в распределении. Возьмем в качестве характеристики асимметрии центральный момент наименьшего нечетного порядка. Так как центральный момент первого порядка равен нулю для случайных величин, имеющих любые распределения, то для этой цели лучше использовать центральный момент третьего порядка. Однако этот момент имеет размерность куба случайной величины. Чтобы избавиться от этого недостатка и перейти к безразмерной случайной величине, делят значение центрального момента на куб среднеквадратического отклонения.

Коэффициентом асимметрии А_s или просто асимметрией называется отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднеквадратического отклонения, т.е.

(6.14)

Иногда асимметрию называют "скошенностью" и обозначают S_k, что происходит от английского слова skew – "косой".

Если коэффициент асимметрии отрицательный, то на его величину достаточно сильно влияние отрицательных слагаемых (отклонений) и распределение будет иметь левую асимметрию, а график (кривая) распределения является более пологим слева от математического ожидания. Если коэффициент положителен, то асимметрия правая, а кривая более полога справа от математического ожидания (рис.6.1).

Рис.6.1.

Как было показано, для характеристики разброса значений случайной величины вокруг своего математического ожидания служит второй центральный момент, т.е. дисперсия. Если этот момент имеет большое числовое значение, то данная случайная величина имеет большой разброс значений и соответствующая кривая распределения имеет более пологий вид, чем кривая, для которой второй центральный момент имеет меньшее значение. Поэтому второй центральный момент характеризует, в какой-то степени, "плосковершинность" или "островершинность" кривой распределения. Однако эта характеристика не очень удобная. Центральный момент второго порядка имеет размерность равную квадрату размерности случайной величины. Если попытаться получить безразмерную величину, поделив значение момента на квадрат среднеквадратического отклонения, то для любой случайной величины получим: . Таким образом, этот коэффициент не может являться какой-либо характеристикой распределения случайной величины. Он одинаков для всех распределений. В этом случае можно использовать центральный момент четвертого порядка.

Эксцессом E_k называется величина, определяемая по формуле

(6.15)

Эксцесс, в основном, применяется для непрерывных случайных величин и служит для характеристики, так называемой "крутости" кривой распределения, или иначе, как уже было сказано, для характеристики "плосковершинности" или "островершинности" кривой распределения. В качестве эталонной кривой распределения считается кривая нормального распределения (о нем будет подробно идти речь в следующем главе). Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет место равенство . Поэтому эксцесс, заданный формулой (6.15), служит для сравнения данного распределения с нормальным, у которого эксцесс получается равным нулю.

Если для какой-то случайной величины получен положительный эксцесс, то кривая распределения этой величины является более островершинной, чем кривая нормального распределения. Если же эксцесс отрицателен, то кривая является более плосковершинной по сравнению с кривой нормального распределения (рис. 6.2).

Рис.6.2.

Перейдем теперь к конкретным видам законов распределения дискретной и непрерывной случайных величин.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, имеющей следующее распределение:

а)

Х	2	3	7
Р	0,6	0,3	0,1

б)

Х	-3	-2	1
Р	0,2	0,4	0,4

в)

Х	-4	0	1
Р	0,5	0,4	0,1

2. Партия из 10 деталей содержит 4 бракованных. Наугад выбирается две детали. Найти математическое ожидание случайной величины Х, равной числу бракованных деталей среди выбранных.

3. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х₁=4 с вероятностью р₁=0,5; х₂=6 с вероятностью р₂=0,3 и х₃ с вероятностью р₃. Найти х₃ и р₃, зная, что М(Х)=8.

4. Дискретная случайная величина имеет следующий закон распределения:

Х	х1	4	7
Р	0,3	0,5	р3

Математическое ожидание равно 3. Найти х₁ и р₃. Построить многоугольник распределения.

5. Найти математическое ожидание величины Z, если

а) Z=3X+4Y; M(X)=2; M(Y)=6.

б) Z=12X+3Y; M(X)=0; M(Y)=4.

6. Найти М(Х²) дискретной случайной величины, заданной законом распределения:

а)

Х	-4	6	10
Р	0,2	0,3	0,5

б)

Х	0,2	0,5	0,6
Р	0,1	0,5	0,4

7. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины: х₁=-1; х₂=0; х₃=1, а также известны М(Х)=0,1 и М(Х²)=0,9. Найти вероятности р₁, р₂, р₃, соответствующие возможным значениям х₁, х₂, х₃.

8. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины: х₁=1; х₂=2; х₃=3, а также известны М(Х)=2,3 и М(Х²)=5,9. Найти вероятности р₁, р₂, р₃, соответствующие возможным значениям х₁, х₂, х₃.

9. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины, имеющей следующее распределение:

а)

Х	-5	2	3	4
Р	0,4	0,3	0,1	0,2

б)

Х	4	5	10
Р	0,2	0,3	0,5

в)

Х	-2	4	5
Р	0,3	0,1	0,6

10. Случайная величина принимает только два значения: 2 и –2 с вероятностями 0,5 и 0,5 соответственно. Определить дисперсию этой случайной величины.

11. Дискретная случайная величина имеет только два возможных значения: х₁ и х₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что Х примет значение х₁, равно 0,6. Найти закон распределения величины Х, если М(Х)=1,4; D(X)=0,24.

12. Дискретная случайная величина имеет только два возможных значения: х₁ и х₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что Х примет значение х₁, равно 0,2. Найти закон распределения величины Х, если М(Х)=2,6; σ(X)=0,8.

13. Проводится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматриваются две случайные величины: Х – разность между числом попаданий и числом промахов; Y – сумма числа попаданий и числа промахов. Построить ряд распределений каждой из этих величин и найти их математические ожидания и дисперсии.

14. Плотность распределения непрерывной случайной величины равна f(х)=2х на промежутке (0, 1) и равна нулю вне этого промежутка. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.

15. Плотность распределения постоянна на промежутке [1, 9] и равна нулю вне этого промежутка. Определить значение функции плотности, математическое ожидание и дисперсию.

16. Плотность распределения равна . Определить математическое ожидание и дисперсию данной величины.

17. Плотность распределения некоторой случайной величины равна . Найти значение А, математическое ожидание и дисперсию.

18. Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения . Требуется: а) найти функцию плотности; б) найти математическое ожидание и дисперсию; в) построить графики функции распределения и функции плотности.

19. Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения . Требуется: а) найти функцию плотности; б) найти математическое ожидание и дисперсию; в) построить графики функции распределения и функции плотности.

20. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

21. На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течение рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. Найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.

22. Случайная величина Х задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти моду и медиану данной случайной величины.

23. Случайная величина Х в интервале задана плотностью распределения ; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти моду, математическое ожидание и медиану случайной величины.

24. Случайная величина Х в интервале задана плотностью распределения ; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти моду, математическое ожидание и медиану случайной величины.

25. Случайная величина Х в интервале задана плотностью распределения ; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти моду и медиану данной случайной величины.

26. Случайная величина Х в интервале задана плотностью распределения ; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти дисперсию данной случайной величины.

27. Случайная величина Х в интервале задана плотностью распределения ; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков данной случайной величины.

28. Случайная величина Х в интервале задана плотностью распределения ; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков данной случайной величины, асимметрию и эксцесс.