4.4. Кумулятивная кривая распределения
График эмпирической функции распределения для непрерывного вариационного ряда называют кумулятивной кривой или просто кумулятой. Название происходит от английского слова accumulation – накопление.
При нахождении значений функции Fn(x) в числителе записывалась сумма некоторых частот. Эта сумма также имеет свое название – кумулятивная или накопленная частота соответствующего интервала. Дадим более точное определение.
Пусть дан вариационный интервальный ряд распределения частот.
Накопленной частотой niнак. i – го интервала называется сумма частоты данного интервала и частот всех предшествующих интервалов, т.е.
.
Нетрудно понять, что накопленная частота последнего интервала совпадает с объемом выборочной совокупности.
Аналогично, для каждого интервала можно определить накопленные частости.
Накопленной частостью wiнак. i – го интервала называется сумма частости данного интервала и частотей всех предшествующих интервалов, т.е.
.
Ясно, что накопленная частость последнего интервала равна 1.
Определив накопленные частости интервалов, можно иначе определить и кумуляту.
Пусть дан интервальный ряд распределения частостей
Интервалы |
а1 – а2 |
а2 – а3 |
… |
am - am+1 |
Частости интервалов |
w1 |
w2 |
… |
wm |
Кумулятой (кумулятивной кривой) интервального ряда распределения частостей называют графическое представление данного ряда в виде ломаной линии, вершины которой находятся в точках с координатами (ai+1; wi), i = 1, 2, …, m, при этом первая точка ломаной находится на оси абсцисс и имеет координаты (а1; 0).
В качестве графического представления интервального ряда может быть рассмотрена ломаная с вершинами в точках (а1; 0) и (ai+1; ni), i = 1, 2, …, m. В этом случае полученная кривая будет называться кумулятой распределения частот (а не частостей) интервального ряда.
Общий вид кумулят распределения частот и частостей будет один и тот же. Отличие состоит лишь в масштабе на оси ординат.
Пример 4.5. Для данного интервального ряда построить кумуляту распределения частот и кумуляту распределения частостей
Интервалы |
1-3 |
3-5 |
5-7 |
7-9 |
9-11 |
Частоты интервалов |
3 |
6 |
7 |
3 |
1 |
Решение. Объем статистической совокупности равен n = 20.
Дополним данный интервальный ряд тремя строками. В третьей строке запишем накопленные частоты интервалов, в четвертой – частости, в пятой – накопленные частости интервалов, получим
Интервалы |
1-3 |
3-5 |
5-7 |
7-9 |
9-11 |
ni |
3 |
6 |
7 |
3 |
1 |
niнак |
3 |
9 |
16 |
19 |
20 |
wi |
0,15 |
0,3 |
0,35 |
0,15 |
0,05 |
wiнак |
0,15 |
0,45 |
0,8 |
0,95 |
1 |
К
умулята
распределения частот имеет вид:
Кумулята распределения частостей имеет вид:
■
По правилу, связанному с накопленными частотами и частостями, строят кумуляту и для дискретного вариационного ряда. Аналогично определяется накопленная частота и накопленная частость для варианта. Ломаная линия с вершинами в точках (xi, niнак), i = 1, 2, …, m будет определять кумуляту распределения частот дискретного ряда, а ломаная линия с вершинами в точках (xi, wiнак), i = 1, 2, …, m – кумуляту распределения частостей дискретного ряда.
Пример 4.6. Построить кумуляту распределения частот и кумуляту распределения частостей для следующего дискретного ряда
Варианты хi |
3 |
4 |
6 |
9 |
Частоты ni |
1 |
3 |
5 |
1 |
Решение. Объем статистической совокупности равен n = 10. Дополним данный дискретный ряд тремя строками. В третьей строке запишем накопленные частоты вариантов, в четвертой – частости, в пятой – накопленные частости вариантов, получим
Варианты хi |
3 |
4 |
6 |
9 |
Частоты ni |
1 |
3 |
5 |
1 |
niнак |
1 |
4 |
9 |
10 |
wi |
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0,1 |
wiнак |
0,1 |
0,4 |
0,9 |
1 |
С
троим
кумуляту распределения частот:
и кумуляту распределения частостей:
Для вариационных рядов существуют и другие графические представления.