8.2. Ошибки первого и второго рода

Пусть при проверке некоторой гипотезы Н₀ выяснилось, что выборочные данные ей противоречат. Таким образом, принимается решение о том, что Н₀ должна быть отвергнута. Но тогда существуют две возможности.

1. Гипотеза Н₀ и в действительности (для всей генеральной совокупности) оказалась ложной, поэтому решение принято правильно.

2. Гипотеза Н₀ в действительности (для всей генеральной совокупности) оказалась верной, поэтому ее ни в коем случае нельзя отвергать и решение по выборке оказалось ошибочным. Подобные ошибки будем называть ошибками первого рода.

Ошибка первого рода – это ошибка, при которой отвергается верная гипотеза.

Вероятность допустить ошибку первого рода, т.е. опровергнуть гипотезу Н₀, когда она верна, называется уровнем значимости и обозначается α.

Предположим теперь, что в результате проверки гипотезы Н₀ противоречия с выборочными данными не получено. В этом случае рассматриваемая гипотеза Н₀ не отвергается. Тогда также существуют две возможности.

1. Гипотеза Н₀ в действительности (для всей генеральной совокупности) оказалась верной, поэтому решение принято правильно.

2. Гипотеза Н₀ в действительности (для всей генеральной совокупности) оказалась ложной, поэтому ее ни в коем случае нельзя принимать и решение по выборке оказалось ошибочным. Подобные ошибки будем называть ошибками второго рода.

Ошибка второго рода – это ошибка, при которой принимается (не отвергается) ложная гипотеза.

Вероятность допустить ошибку второго рода, т.е. принять гипотезу Н₀, когда она неверна, обозначается β.

Гипотеза Н0	Верная	Ложная
Отвергается	Ошибка первого рода, ее вероятность α	Правильное решение, его вероятность 1– α
Принимается	Правильное решение, его вероятность 1– β	Ошибка второго рода, ее вероятность β

В большинстве случаев последствия указанных ошибок неравнозначны. Одна из ошибок приводит к более осторожному консервативному решению, другая – к неоправданному риску.

Исключить полностью ошибки первого и второго рода невозможно, поэтому стараются уменьшить вероятности их появления. Однако одновременно уменьшать вероятности ошибок первого и второго рода не удается при фиксированном объеме выборки, так как эти ошибки в определенном смысле являются конкурирующими, т.е. уменьшение вероятности допустить одну из них ведет к увеличению вероятности появления другой. Одновременное уменьшение вероятностей ошибок первого и второго рода возможно лишь при увеличении объема выборки.

Таким образом, в каждой конкретной задаче необходимо искать некоторое компромиссное решение относительно выбора вероятностей ошибок, которое зависит, прежде всего, от последствия этих ошибок. Однако, как правило, если гипотеза Н₀ «очень правдоподобна» и нужны веские аргументы, чтобы ее опровергнуть (в данном случае – сильно не согласованные с этой гипотезой выборочные данные), то выбирается достаточно малым вероятность ошибки первого рода – величина α. Чаще всего, выбирают α равной 0,05, иногда 0,01 или даже 0,005.

Пусть α = 0,05. Это означает, что в среднем на 100 выборок, по которым проверяется гипотеза, допускается совершить 5 ошибок, т.е. 5 раз отвергнуть верную гипотезу.

Проверку каждой гипотезы можно проводить по определенной схеме с помощью статистического критерия.