1.5. Показатели статистической связи.

Выше объяснялось, что дисперсия случайной переменной показы­вает, как наблюдаемые значения этой переменной распределены вокруг среднего значения. Здесь введем понятие ковариации, которая показывает, как две случайные переменные ведут себя по отношению одна к другой. Затем мы перейдем к расчету коэффициента корреляции, который является наиболее удобным показателем степени линейной связи между двумя переменными.

Ковариация. В финансовой и других областях встречается много ситуаций, когда важно знать, как две переменные ведут себя по отноше­нию друг к другу. Например, в управлении портфелем ценных бумаг для опре­деления риска портфеля активов необходимо знать, как цена ценной бумаги Х ведет себя по отношению к ценной бумаге Y для всех пар активов. Другими словами, нам нужно определить ковариацию или корреляцию каждой пары активов.

Если цена ценной бумаги X обычно растет (падает) в то же время, когда растет (падает) цена ценной бумаги Y, ковариация будет положительной. Однако если обычно во время роста цены ценной бумаги X цена ценной бумаги Y падает, то ковариация будет отрицательной. Если же не существует определенной мо­дели связи между движениями цен, т.е. цены двух ценных бумаг ведут себя независимо, ковариация равна нулю. Формула для вычисления ковариации выглядит следующим образом:

(1.12).

Как видно из формулы, величина ковариации зависит от величины наблюдений Х и Y. Таким образом, значительная ковариация может быть вызвана в большей степени высокими значениями наблюдений, чем близкой связью между переменными.

Дисперсионно-ковариационная матрица. Часто ковариации нескольких переменных (например X, Y, Z) изображаются в виде дисперсионно-ковариационной матрицы С:

(1.13).

Возможными парами активов в этом примере являются XX, ХY, ХZ, YХ, YY, YZ, ZХ, ZУ и ZZ. Таким образом, кова­риация X и Y - это то же самое, что и кова­риация Y и X. Поэтому все ковариации левее и ниже диагонали повторяются выше и правее диагонали. Значит, эти ковариации введены в матрицу дважды. Важность этой детали проиллюстрируем позд­нее, когда будем измерять риск портфеля. Ковариации на диагонали - это ковариации доходов с ними са­мими. Ковариация переменной с ней самой равняется диспер­сии этой переменной. Для понимания этого используем выра­жение (1.12) для измерения ковариации актива X с ним самим. Равенство будет выглядеть так:

(1.14),

что совпадает с формулой дисперсии.

Коэффициент корреляции. Наиболее широко используемым показателем степени связи ме­жду двумя переменными является коэффициент корреляции. Это показатель, независимый от единиц измерения, характеризует силу и направление линейной связи между двумя переменными. Следовательно, при его использовании преодолевается недоста­ток ковариации, так как величина коэффициента корреляции не находится под влиянием значений наблюдений.

Значения коэффициента корреляции находятся в промежутке от (- 1) для случая отрицательной связи, проходя через 0, где две переменные независимы друг от друга и заканчиваются в точке (+ 1) для случая положительной связи между переменными.

Коэффициент корреляции рассчитывается делением коэффициента кова­риации между X и Y на произведение среднего квадратического откло­нения X и среднего квадратического отклонения Y. В формали­зованном виде это записывается так:

(1.15).

Независимо от того, положительна или отрицательна корре­ляция, коэффициент корреляции - это только мера стати­стической связи. В статистике выводы о причинности, т.е. возможности предположить, что изменение пе­ременной X приведет к изменению переменной Y или наоборот, нельзя сделать, использовав коэффициент корреляции: для этого существует, например, тест Гранжера. Следовательно, коэффициент корреляции может лишь показать, насколько сильна линейная связь между двумя переменными, но не может объяснить их изменений.