3.6.3. Реализация метода Якоби средствами приложения ms Excel

В качестве примера рассмотрим систему уравнений (3.19), решение которой методом Якоби получено выше (пример 3.2)

Приведем эту систему к нормальному виду:

Последовательность действий

1. Оформим таблицу, как показано на рис.3.6.:

• Матрицы и (3.15) введем в ячейки В6:Е8.

• Значение  – в Н5.

• Номер итерации k сформируем в столбце А таблицы с помощью автозаполнения.

• В качестве нулевого приближения выберем вектор

= (0, 0, 0) и введем его в ячейки В11:D11.

2. Используя выражения (3.29), в ячейки В12:D12 запишем формулы для вычисления первого приближения:

B12=$E$6+B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6,

C12=$E$7+B11*$B$7+C11*$C$7+D11*$D$7,

D12=$E$8+B11*$B$8+C11*$C$8+D11*$D$8.

Эти формулы можно записать иначе, используя функцию Excel СУММПРОИЗВ.

В ячейку Е12 введем формулу: E12=ABS(B11-B12) и скопируем ее вправо, в ячейки F12:G12.

Рис.3.6. Схема решения СЛАУ методом Якоби

3. В ячейку Н12 введем формулу для вычисления M^(k), используя выражение (3.18): Н12 = МАКС(E12:G12). Функция МАКС находится в категории статистические.

4. Выделим ячейки В12:Н12 и скопируем их вниз до конца таблицы. Таким образом, получим k приближений решения СЛАУ.

5. Определим приближенное решение системы и количество итераций, необходимое для достижения заданной точности .

Для этого оценим степень близости двух соседних итераций по формуле (3.18). Воспользуемся Условным форматированием в ячейках столбца.

Результат такого форматирования виден на рис.3.6. Ячейки столбца Н, значения которых удовлетворяют условию (3.18), т.е. меньше =0,1, тонированы.

Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с заданной точностью  четвертую итерацию, т.е.

Исследуем характер итерационного процесса. Для этого выделим блок ячеек А10:D20 и, используя Мастер диаграмм, построим графики изменения каждой компоненты вектора решения в зависимости от номера итерации,

Приведенные графики (рис.3.7) подтверждают сходимость итерационного процесса.

Рис. 3.7. Иллюстрация сходящегося итерационного процесса

Изменяя значение  в ячейке Н5, получим новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

3.6.4. Реализация метода прогонки средствами приложения Excel

Рассмотрим решение следующей системы линейных алгебраических уравнений методом «прогонки», используя таблицы Excel.

Векторы:

Последовательность действий

1. Оформим таблицу, как показано на рис.3.8. Исходные данные расширенной матрицы системы (3.30), т.е. вектора введем в ячейки B5:E10.

2. Про гоночные коэффициенты U₀=0 и V₀=0 введем в ячейки G4 и H4 соответственно.

3. Вычислим прогоночные коэффициенты L_i, U_i, V_i. Для этого в ячейках F5, G5, H5 вычислим L₁, U₁, V₁. по формуле (3.8). Для этого введем формулы:

F5 = B5*G4+C5; G5=-D5/F5, H5 = (E5-B5*H4)/F5, и затем скопируем их вниз.

Рис.3.8. Расчетная схема метода «прогонки»

4. В ячейке I10 вычислим x₆ по формуле (3.10)

I10 = (E10-B10*H9)/(B10*G9+C10).

5. По формуле (3.7) вычислим все остальные неизвестные x₅ x₄, x₃, x₂, x₁. Для этого в ячейке I9 вычислим x₅ по формуле (3.6): I9=G9*I10+H9 . А далее копируем эту формуле вверх.