2.1. Первый этап. Отделение корней

Отделить (локализовать) корни – это значит выделить из области допустимых значений функции y=f(x) отрезки, в каждом из которых содержится единственный корень.

Для функции общего вида не существует универсальных методов решения задачи локализации корней. Отделить корни уравнения f(x)=0 можно разными способами. Рассмотрим некоторые из них.

1. Табулирование функции. Строится таблица значений функции у=f(x) на некотором отрезке x[a, b]. Если окажется, что для соседних значений аргумента значения функции имеют разные знаки, то хотя бы один корень уравнения 2.1 может находиться между ними.

2. Графический метод. Если удается построить график функции y=f(x), то можно определить количество и расположение нулей функции, выделяя те промежутки оси Х, где график y=f(x) пересекает ось Х.

Если построение графика y=f(x) затруднительно, то исходное уравнение f(x)=0 заменяется эквивалентным ему уравнением (x)=(x) и строятся графики функций у₁=(x) и у₂=(x). Искомый корень является абсциссой точки пересечения графиков этих функций.

3. Исходя из физического смысла задачи.

4. Убедиться в том, что на данном отрезке x[a, b] (например, грубо определенном графическим способом) действительно имеется единственный корень уравнения (2.1), можно аналитическим способом, в основе которого лежит известная теорема математического анализа [3]:

Теорема 2.1. Если непрерывная на отрезке [a, b] функция y=f(x) принимает на концах его противоположные знаки, т.е. f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0. Корень заведомо будет единственным, если производная функции y=f '(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (a, b), т.е. функция монотонна на отрезке [a, b].

• Пример 2.1. Отделить (локализовать) корни уравнения

4 – е^х – 2х² = 0, (2.2)

т.е. выяснить, сколько корней имеет это уравнение, и найти интервалы, в которых находятся по единственному корню.

Способ 1. Составим таблицу значений функции f(x)=4 – е^х – 2х² на промежутке [–3, 1] (табулирование функции).

Таблица 2.1

x	-3	-2	-1	0	1
f(x)=4-ех-2х2	–14,049	–4,135	1,632	3,012	–0,718

Из таблицы видно, что на отрезках [–2,–1] и [0,1] существуют, по крайней мере, по одному корню уравнения (2.2).

Способ 2. Уравнение (2.2) эквивалентно уравнению (x)=(x), где.  (x)=4–2х² ; 3)  (x)= е^х.

Построим графики функций у=(x) и у=(x) (рис. 2.2). Они пересекаются в двух точках, абсциссы которых х^*₁ и х^*₂ являются решениями уравнения  (x)= (x), т.е. решением уравнения (2.2).

Рис. 2.2. Графический способ отделения корней

• Пример 2.2. Локализовать корни уравнения

х – tg(x)=0, (2.3)

которое получается при решении задачи устойчивости стержня (рис.2.3), где

При решении задач устойчивости нас обычно интересует наименьшее значение критической нагрузки, т.е. надо найти наименьший положительный корень уравнения (2.3).

Т аблица 2.2

х	f(x)=х-tg(x)
0	0,000
0,5	–0,046
1	–0,557
1,5	–12,601
2	4,185
2,5	3,247
3	3,143
3,5	3,125
4	2,842
4,5	–0,137
5 Рис.2.3. К зада-че устойчи-вости стержня	8,381

Рис.2.4. Локализация корней уравнения х–tg(x)=0

Если при решении данной задачи отделение корней производить на основании таблицы табулирования (табл.2.2), то можно допустить ошибку, предположив, что корень уравнения находится на отрезке [1.5, 2], где функция меняет знак.

В действительности, на этом участке функция f(x)=х–tg(x) терпит разрыв (т.е. не выполняются условия теоремы 2.1) и это хорошо видно на рис.2.4.

Таким образом, искомый корень уравнения находится на отрезке [4, 4.5], где выполняются условия теоремы 2.1.