Конические сечения

Коническими сечениями называют линии, получающиеся в результате пересечения конической поверхности 2-го порядка (в частном случае конической поверхности вра­щения) плоскостью.

Заданная на черт. 239, а фронтально проецирующая плоскость р пересекает коническую поверхность вращения а по эл­липсу (см. также черт 237).

Действительно, кривая 2-го порядка, по­лучающаяся при этом, не имеет несоб­ственных точек, так как все образующие поверхности а пересекаются с плоскостью Р (что очевидно из чертежа). В результате пересечения поверхности а с плоскостью у, перпендикулярной к оси вращения поверх­ности, получается окружность—част­ный вид эллипса.

На черт. 239, б фронтально проецирую­щая плоскость р параллельна левой очер­ковой образующей конуса Со всеми осталь­ными образующими поверхности а эта плоскость пересекается (с некоторыми за пределами чертежа). В сечении получается кривая 2-го порядка, имеющая одну несобственную точку е. парабола, т.

Плоскость -у касается поверхности конуса Касание происходит по образующей, кото­рую можно рассматривать как пару парал­лельных совпадающих прямых. Пара парал­лельных прямых является частным видом параболы.

На черт. 239, в плоскость р параллельна двум образующим конуса, расположенным в плоскости у. Остальные образующие его пересекаются с плоскостью (3, причем, неко­торые в точках, расположенных выше вер­шины конуса, т. е. на верхней его поле. Кривая 2-го порядка, получающаяся в этом случае, имеет две несобственные точки и является поэтому гиперболой. Легко видеть, что эта кривая имеет две части (ветви), одна из которых расположена на нижней части конической поверхности, дру­гая — на верхней. Плоскость "у, проходящая через вершину конуса, пересекает поверх­ность по паре образующих, являю­щихся частным видом гиперболы

Плоскость 6,параллельная оси конуса, а следовательно, и двум образующим по­верхности, пересекает коническую поверх­ность тоже по гиперболе.

§ 42. Развертывание кривых поверхностей

Кривые поверхности, которые полностью, без растяжения или сжатия, без разрывов и складок можно совместить с плоскостью, называют развертываемыми. К этим поверхностям относятся лишь линейчатые и только такие, у которых смежные обра­зующие пересекаются между собой или параллельны. Этим свойством обладают торсы (поверхности, образованные пря­мыми, касательными к направляющей пространственной кривой), конические и цилиндрические поверхности.

Остальные линейчатые поверхности, а также все нелинейчатые являются не развертываемыми.

Развертки развертываемых кривых поверхностей f

Цилиндрические поверхности в общем случае развертываются теми же спосо­бами, что и призматические. На черт. 342 способом «нормального сечения» пост­роена развертка боковой поверхности наклонного цилиндра вращения. Для этого цилиндр пересечен плоскостью а, перпен­дикулярной к его образующим, которая делит поверхность цилиндра на две части

Нормальным сечением является окружность, проецирующаяся без искажения на вспомогательную плоскости яз. Разделив эту окружность, например, на восемь равных частей, проведем через точки деления образующие цилиндра, которые проециру­ются в натуральную величину на плос­кость па- Взяв на горизонтальной прямой т отрезок, равный длине окружности нор­мального сечения, и разделив его на восемь равных частей, проведем через точки /о, 2о, За, ... деления прямые, перпендикуляр­ные к линии т. На них вверх и вниз от линии т отложим длину соответствующих отрез­ков образующих цилиндра, которые берем с фронтальной проекции. Соединив концы

* При решении практических задач число делепий должно быть 12 — 16 и более построенных образующих плавной линией, получим развертку боковой поверхности цилиндра.

Поскольку количество точек для постро­ения лекальных кривых определяется коли­чеством частей, на которые делится нор­мальное сечение цилиндра, оно зависит от необходимой степени точности выполнения развертки. Отметим, не приводя доказа­тельств, что кривые, ограничивающие построенную развертку, являются синусо­идами.

Нижнее и верхнее основания цилиндра ограничены одинаковыми эллипсами, нату­ральный вид которых определяется их гори­зонтальными проекциями. Для получения полной развертки к изображенной на черт. 342 развертке боковой поверхности добав­ляют два основания цилиндра.

В рассмотренном примере, допуская не­которую ошибку, можно было бы отклады­вать на прямой т вместо длин дуг 'окружности длины стягивающих их хорд. При такой замене цилиндрическая по­верхность была бы приближенно заменена поверхностью восьмигранной призмы.

Именно так было бы целесообразно поступить, если нормальным сечением была бы не окружность, а другая кривая (например, эллипс), которую трудно делить на равные части

Построение приближенной развертки боковой поверхности конуса дано на черт 343. Поверхность конуса заменена поверх­ностью вписанной в него пирамиды со сто­роной основания, равной хорде, получен­ной от деления окружности на восемь равных частей. Каждая грань пирамиды — треугольник. Одна сторона его равна

хорде, стягивающей 1/8 часть окружности основания конуса, а две другие стороны равны длинам соответствующих образую­щих конуса. Их натуральные величины определены способом вращения вокруг вертикальной оси I, проходящей через вершину конуса. Коническая поверхность рассечена по образующей V—/. После поворота до положения фронтали получена ее натуральная величина | V"—1"\ и от этой линии начато построение развертки. После­довательно найдены точки 2, 3, 4, .., ко­торые затем соединены плавной лекаль­ной кривой.

Развертка боковой поверхности пря­мого кругового цилиндра радиуса R и вы­сотой h (черт. 344) представляет собой прямоугольник, одна из сторон которого

равна длине 2nR окружности основания а другая — высоте А цилиндра

Развертка поверхности конуса враще­ния (черт 345) с радиусом основания R и высотой h представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине / образующей конуса, а центральный угол ц°=2пР/1

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ