2.3. Закон гидравлики

Любой участок сосуда (рис. 2.9) можно рассматривать как цилиндрическую трубку длины L радиуса r, по которой течет кровь.

Рисунок 2.9. Течение крови по отрезку сосуда

Формулы (5), которые описывают течение Пуазейля, позволяют заключить, что величина кровотока Q, т.е. объема крови (в мл), протекающего через сосуд в единицу времени (1 сек.), пропорциональна разности давлений на входе и выходе трубы P, четвертой степени радиуса и обратно пропорциональна длине трубы

Q= , (9)

где Q = кровоток (мл/мин), P = градиент давления, т.е. разность давлений на входе и выходе (в физиологии давление чаще всего измеряется в миллиметрах ртутного столба - 1 мм рт.ст.= 133 Па, 1 Па = 1 Н/м ² – единица давления в системе СИ (м·кг·сек) ), L длина трубки (см), r внутренний радиус трубки (см), µ вязкость крови, которая в "физиологической"системе единиц (размеры - в см, давление - в мм.рт. ст., время - в минутах) равна 24 физиол.ед., тогда как в "стандартной"системе СИ µ = 5 · 103 кг/м· сек, а в "физической"системе СГС µ = 0.05 пуаза.

Это уравнение применимо только к ламинарным (без завихрений) течениям жидкости по трубке с жесткими неупругими стенками. В частности, в турбулентном режиме разность давлений пропорциональна не кровотоку, а его квадрату и может значительно превышать значения, рассчитанные по формулам ламинарного течения.

Из уравнения (9) видно, что увеличение кровотока может быть достигнуто как повышением градиента давления, так и увеличением внутреннего радиуса трубки. Оба этих механизма регулирования кровотока имеют большое значение в физиологии.

Вводя так называемое гидравлическое сопротивление, в простом случае течения Пуазейля определяющееся формулой

R: = , (10)

мы приходим к соотношениям между градиентом давления и кровотоком в сосуде, полностью аналогичным закону Ома для электрического тока

Q= ,или, другими словами,

= · (11)

где кровоток Q соответствует силе электрического тока I, проходящего по проводнику, а ∆P - падению напряжения U на сопротивлении R.

Формулы для электрического и гидравлического сопротивлений также аналогичны, но электрическое сопротивление обратно пропорционально квадрату, а гидравлическое – четвертой степени радиуса трубки.

Заменяя вязкость в (10) ее значением, запишем соотношения (11) между кровотоком и падением давления в отрезке сосуда в следующем виде:

Q =λ , т.е. =λ^-1 Q; (12)

λ = ≈ 60 физиол. ед., λ^-1 ≈ 0,0166 физиол. ед.

В конкретном примере, когда длина сосуда L =1 см, внутренний радиус r = 1 мм = 0.1 см, по формуле (11) находим, что для поддержания в сосуде кровотока Q =60 мл/мин разность давлений на входе и выходе сосуда должна составлять 1 мм рт. ст.

Основное уравнение гидравлики (11) применимо не только к одиночному сосуду, но и к стационарным течениям в разветвляющейся сети трубок и даже во всей системе кровообращения в целом. При этом оказывается, что эквивалентное гидравлическое сопротивление R^* сосудов большого круга составляет около

R^* ≈ 60 физиол. ед. = 133·10⁶ кг/м²·сек. = 133·10⁵г/см²·сек. (13)

Гидравлические сопротивления складываются, подобно соединению резисторов в электрических схемах (рис. 2.10), при последовательном соединении; при параллельном же соединении складываются проводимости, т.е. величина, обратная к общему сопротивлению параллельно соединенных трубок равна сумме обратных величин к сопротивлениям отдельных трубок

Рисунок 2.10. Последовательное и параллельное соединение сосудов (гидравлических проводников)

R_посл= R₁ + R₂+ …R_п ; (14)

В общем случае, сложная сеть артериальных сосудов может являться графом, ребра которого представляют отдельные сосуды, а вершины - узлы, в которых сосуды расщепляются (или сливаются). Сопротивление каждого ребра рассчитывается по формулам (10) или (12).

Выбирая в качестве искомых неизвестных давления P_k в N ≈ 10⁹ вершинах, через них по уравнению (11) записываем кровотоки во всех сосудах, удовлетворяющие (в стационарном случае) условию баланса: в каждом узле алгебраическая сумма кровотоков равна нулю.

Добавляя сюда те или иные граничные условия (например, задавая величину давления или кровотока в аорте, и приравнивая нулю давление на концах артериол), приходим к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Практическое решение, даже на самом мощном компьютере, получающейся NхNСЛАУ не представляется возможным без дополнительных предположений, например, агрегирования (укрупнения) групп сосудов одного поколения.

На рис. 2.11 лишь левый сердечный насос и главные артерии большого круга кровообращения и последовательно с ними соединенные системы артериол (более узкие прямоугольники). Короткие черточки (как в электрических схемах) указывают на переход к капиллярной и венозной системам, давление в которых очень мало и его можно считать нулевым. Пунктиром помечены части тела, относящиеся к соответствующим участкам АСС.

Через R₁, R₂, R₉, R₁₀, R₁₁ обозначены отрезки восходящей аорты, R₃ - R₆- коронарные артерии и артериолы, R₇, R₈ нисходящие ветви аорты R₁₂ - R₁₆ - артерии и артериолы, питающие мозг, R₁₇- R₂₀ - лучевые сосуды рук, R₂₁- R₂₄ сосуды внутренних органов, R₂₅- R₂₈- артериальные сосуды ног.

В табл. 2.1. приведены данные к рис. 2.11, которые будут использоваться в расчетной задаче № 3.

Таблица 2.1. Ориентировочные значения гидравлических сопротивлений (в физиологических единицах)

R1	2	R8	20	R15	200	R22	150
R2	3	R9	3	R16	600	R23	30
R3	400	R10	2	R17	300	R24	250
R4	3600	R11	2	R18	1500	R25	100
R5	400	R12	100	R19	300	R26	700
R6	3600	R13	100	R20	1500	R27	100
R7	20	R14	600	R21	20	R28	700

Важно учесть также гравитационные силы (отсутствующие лишь в состоянии невесомости), что осуществляется добавлением к давлению P_k в каждой вершине слагаемого p h_k, где h_k высота данной точки над некоторым уровнем (обычно уровнем расположения сердца).

Несмотря на упрощенный характер гидравлического описания, оно дает возможность строить удовлетворительные модели начального приближения.

Рис. 2.11. Схема укрупненного графа артериальной сосудистой системы человека