Электромагнетизм Основные формулы

• Закон Био — Савара — Лапласа

где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом про­водника с током;  — магнитная проницаемость; ₀ = 410^-7 Гн/м — магнитная постоянная; dl — вектор, равный по моду­лю длине dl проводника и совпадающий по направлению с током (элемент проводника); I — сила тока; r — радиус-вектор, про­веденный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется.

Модуль вектора dB выражается формулой

где  — угол между векторами dl и r.

• Магнитная индукция В связана с напряженностью Н магнит­ного поля (в случае однородной, изотропной среды) соотношением

или в вакууме

• Магнитная индукция в центре кругового проводника с током

где R — радиус кривизны проводника.

• Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током,

где r — расстояние от оси проводника.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника,

При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная ин­дукция, -cos₂ = cos₁ = cos и, следовательно,

• Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его части (или тороида на его оси),

где n — число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; I — сила тока в одном витке.

• Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индук­ция В результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций B₁, B₂,…, В_п складываемых полей, т. е.

В частном случае наложения двух полей

а модуль магнитной продукции

где  — угол между векторами В₁ и В₂.

• Закон Ампера. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле,

где I — сила тока; I — вектор, равный по модулю длине I про­водника и совпадающий по направлению с током; В — магнитная индукция поля.

Модуль вектора F определяется выражением

где а — угол между векторами I и В.

• Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных парал­лельных проводников с токами I₁ ц 1₂, находящихся на расстоянии d друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной I, выражается формулой

• Магнитный момент контура с током

где S — вектор, равный по модулю площади S, охватываемой контуром, и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости.

• Механический момент, действующий на контур с током, по­мещенный в однородное магнитное поле,

Модуль механического момента

где  — угол между векторами р_т и В.

• Потенциальная (механическая) энергия контура с током в магнитном поле

• Сила, действующая на контур с током в магнитном полe, изменяющемся вдоль оси x, ;

где — изменение магнитной индукции вдоль оси Ох, расcчитанное на единицу длины; а — угол между векторами р_т и B.

• Сила F, действующая на заряд Q, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В (сила Лоренца), выражается формулой

где  — угол, образованный вектором скорости v движущейся частицы и вектором магнитной индукции В.

• Работа по перемещению замкнутого контура с током в маг­нитном поле

А=I Ф,

где Ф — изменение магнитного потока, пронизывающего поверх­ность, ограниченную контуром; I — сила тока в контуре.

• Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея — Максвелла)

где _i — электродвижущая сила индукции; N — число витков контура; — потокосцепление.

Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции:

а) разность потенциалов U на концах проводника длиной l, движущегося со скоростью v в однородном магнитном поле,

где  — угол между направлениями векторов скорости v и маг­нитной индукции В;

б) электродвижущая сила индукции ξ_i, возникающая в рамке, содержащей N витков, площадью S, при вращении рамки с угловой скоростью w в однородном магнитном поле с индукцией В

где wt — мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали п к плоскости рамки.

• Количество электричества Q, протекающего в контуре,

где R — сопротивление контура;  — изменение потокосцепления.

• Электродвижущая сила самоиндукции ξ_i, возникающая в зам­кнутом контуре при изменении силы тока в нем,

где L — индуктивность контура.

• Потокосцепление контура

где L — индуктивность контура.

• Индуктивность соленоида (тороида)

Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по приведенной формуле для определения магнитной проницаемости следует пользоваться графиком зависимости В от Н (см. рис. 24.1), а затем формулой

• Мгновенное значение силы тока I в цепи, обладающей актив­ным сопротивлением R и индуктивностью L:

а) после замыкания цепи

где Е — ЭДС источника тока; t — время, прошедшее после замыкания цепи;

б) после размыкания цепи

где I₀ — сила тока в цепи при t = 0; t — время, прошедшее с момента размыкания цепи.

• Энергия W магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L, определяется формулой

где I — сила тока в контуре.

• Объемная (пространственная) плотность энергии однородного магнитного поля (например, поля длинного соленоида)