5.4. Показатели размера и интенсивности вариации

Вторая важнейшая задача при определении общего характера распределения – это оценка степени его однородности. Однородность статистических совокупностей характеризуется величиной вариации (рассеяния) признака, т.е. несовпадением его значений у разных статистических единиц.

Для измерения вариации в статистике используются абсолютные и относительные показатели.

К абсолютным показателям вариации (показатели размера вариации) относятся:

1. Размах колебаний (вариации) R.

(5.8)

Размах вариации характеризует только крайние значения признака. Он часто используется в практической деятельности, например, различие между max и min пенсией, заработной платой в различных отраслях и т.д.

2. Среднее линейное отклонение .

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической. Этот показатель рассчитывается по формулам простой и взвешенной средней арифметической:

(5.9)

(5.10)

3. Дисперсия ( ).

Дисперсия представляет собой среднюю из квадратов отклонений индивидуальных значений признака (вариант) от их средней величины. В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется по формулам простой и взвешенной средней арифметической:

(5.11)

(5.12)

На дисперсии основаны почти все методы математической статистики. Ее можно рассчитать, пользуясь формулой квадратов:

(5.13)

В этом случае дисперсия определяется как разница между средней из квадратов индивидуальных значений признаков и квадратом среднего значения признака.

Дисперсия имеет ряд свойств, к которым относятся:

1. Дисперсия постоянной равна нулю.

2. Уменьшение всех вариант на одно и то же число не приводит к изменению дисперсии.

3. Уменьшение всех вариант в k раз приводит к уменьшению дисперсии в k² раз.

Размерность дисперсии соответствует квадрату размерности исследуемого признака, поэтому данный показатель не имеет экономической интерпретации. Для сохранения экономического смысла рассчитывается ещё один показатель вариации – среднее квадратическое отклонение.

4. Среднее квадратическое отклонение (СКО):

(5.14)

Среднее квадратическое отклонение используется для оценки надежности средней: чем меньше σ, тем надежнее , тем лучше средняя представляет исследуемую совокупность.

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение являются именованными величинами и имеют такую же размерность и наименование, как и исследуемый признак.

Относительные показатели вариации (показатели интенсивность вариации) предназначены для оценки и сравнения вариации нескольких признаков по одной совокупности или же вариации одного и того же признака по нескольким совокупностям. Базой для их исчисления является среднее значение признака.

1. Коэффициент относительного размаха вариации (коэффициент осцилляции) показывает, сколько процентов составляет размах вариации от среднего значения признака.

(5.15)

2. Относительное линейное отклонение показывает, сколько процентов составляет среднее линейное отклонение от среднего значения признака.

(5.16)

3. Коэффициент вариации является самым распространенным относительным показателем вариации.

(5.17)

Во-первых, с его помощью сравнивают интенсивность вариации для двух и более рядов распределения. Чем меньше коэффициент вариации, тем меньше интенсивность вариации, тем ряд устойчивее.

Во-вторых, делают вывод о количественной однородности или неоднородности совокупности.

Если распределение одновершинное и коэффициент вариации не превышает 33 %, то совокупность считается однородной и возможно ее дальнейшее исследование. Для характеристики совокупности используют и .

Если коэффициент вариации больше 33 %, то совокупность неоднородна и необходимо выяснить причины этой неоднородности. Среднее значение признака для такой совокупности фиктивно.

Наряду с оценкой вариации количественных признаков часто встает задача оценки вариации качественных альтернативных признаков. Например: годная и бракованная продукция, успевающие и не успевающие студенты. Эквивалентом наличия исследуемого качественного признака является единица, а отсутствия – ноль.

Долю единиц, обладающих исследуемым признаком, обозначают p, а не обладающих – q. Соответственно сумма долей дает единицу.

Построим ряд распределения качественного альтернативного признака, учитывая введенные обозначения и параметры (табл. 5.4):

Таблица 5.4

Ряд распределения качественного альтернативного признака

Значение переменной, x	Частость, w
1 0	p = w q = 1- w
Итого	p+q=1

Найдем среднее арифметическое значение для этого параметра:

= w . (5.18)

Как видно, среднее значение при исследовании качественного альтернативного признака совпадает с долей единиц, обладающих этим признаком.

Найдем значение дисперсии:

(5.19)

Дисперсия при исследовании качественного альтернативного признака рассчитывается как произведение доли единиц, обладающих этим признаком, на долю единиц им не обладающих.

Отсюда среднее квадратическое отклонение: σ = . Тогда коэффициент вариации может быть посчитан по формуле:

% = % (5.20)