6.2. Оптимальная численность выборки

При определении необходимой численности выборки надо задать уровень точности, величину предельной ошибки и величину дисперсии. Необходимая численность случайной повторной выборки находится по формуле:

, (6.12)

что вытекает из формулы предельной ошибки: . При этом t зависит от вероятности с которой гарантируется результат исследования, предельная ошибка устанавливается нормативами, а берется или из результатов предыдущих исследований, или по результатам малой выборки для которой установлено, что 5 ≤ n ≤ 30.

Если исследуется доля, то:

(6.13)

При неизвестном значении доли ее принимают w_в=0,5, при этом .

В случае бесповторного отбора порядок определения величины n аналогичен и, соответственно, при исследовании признака:

(6.14)

При исследовании доли:

(6.15)

6.3. Особенности малой выборки

Малая выборка – выборка с объемом от 5 до 30 единиц. Используется, когда нельзя проводить сплошное наблюдение и когда нельзя делать большую выборку.

При появлении большого количества частных предприятий, возможность проведения наблюдений большого объема существенно снизилась и возникла необходимость характеристики генеральной совокупности по результатам малой выборки.

Ограничением в использовании малой выборки является изучение социальных явлений.

Как известно репрезентативность выборки зависит от ее объема. При большом объеме распределение случайных ошибок близко к нормальному распределению. Соответственно по таблице Лапласа можно определить вероятность того, что ошибка наблюдений не выйдет за установленные пределы. При этом сделано допущение, что выборочной совокупности приблизительно равна генеральной совокупности. При малом выборочном обследовании данное положение не работает. Случайные ошибки малой выборки не подчиняются закону нормального распределения.

Английский ученый Госсет, который печатал свои работы под именем Стьюдент в 1908 г. нашел закон распределения случайных ошибок малой выборки.

Кривая Стьюдента, по сравнению с нормальной кривой, более полога и ее ординаты медленнее приближаются к оси абсцисс. При оценке результатов малой выборки и оценке возможных пределов ее случайных ошибок, пользуются отношением Стьюдента:

, (6.16)

где - стандартная ошибка малой выборки:

(6.17)

- предельная ошибка:

, (6.18)

где t – отношение Стьюдента, подчиняющееся соответствующему закону.

Так же как для нормального распределения существуют специальные таблицы вероятностей Стьюдента p_k(t), где рассчитаны вероятности в малых выборках в зависимости от коэффициента доверия и числа степеней свободы k (k=n-1).

6.4. Способы отбора единиц из генеральной совокупности

Способы отбора единиц из генеральной совокупности:

1. Индивидуальный отбор

2. Групповой отбор (группы или серии)

3. Комбинированный отбор (осуществляется комбинацией индивидуального и группового отбора)

Процедура отбора единиц из генеральной совокупности может быть организована как случайный, механический, типический, серийный и комбинированный отбор.

1. Собственно-случайная выборка.

Предполагают, что генеральная совокупность разделена на единицы отбора, и в случайном порядке отбирается необходимое число единиц в выборочную совокупность. При этом отбор может быть повторным или бесповторным.

Случайный порядок – это порядок, равносильный жеребьевке с помощью фишек, шаров или таблицы случайных чисел. Расчет стандартной ошибки, появляющейся при исследовании признака или доли проводится по вышеприведенным формулам.

Формировать выборку строго в соответствии со случайным порядком достаточно сложно, так как необходимо пронумеровать и идентифицировать все единицы генеральной совокупности.

На практике применяют другие способы отбора, каждый из них не является строго случайным, однако, при правильной организации обеспечивается максимальное приближение к условиям собственно-случайного отбора.

2. Механический отбор.

Механический отбор – отбор единиц из общего списка генеральной совокупности через равные интервалы в соответствии с установленным процентом отбора.

Всю генеральную совокупность представляют в виде списка, при этом этот список составлен по какому-то правилу, которое никак не связано с изучаемым признаком. Например, список студентов составлен по алфавиту. Затем, составленный список разбивают на такое количество равных частей, сколько единиц должна составлять выборка. Затем, по заранее установленному правилу, из каждого списка выбирается одна единица. Например: из 200 студентов для контроля знаний надо выбрать 20.

1. Составляется список в алфавитном порядке.

2. Список делится на 20 групп по 10 студентов.

3. Из первой группы способом случайного отбора выбираем одну единицу, например, это будет единица номер 5. Тогда из второй группы обследуем единицу номер 15, из третьей – номер 25 и т.д.

Недостатком данного метода является то, что не всегда обеспечивается случайность отбора, и полученная выборка может оказаться смещенной.

Преимущества – это более легкая организация и проведение формирования выборочной совокупности.

Стандартная ошибка определяется по формуле стандартной ошибки для случайного бесповторного отбора. В ряде случаев, когда объем выборки не велик, а генеральная совокупность имеет большой объем, можно использовать формулы для повторного отбора.

3. Типический отбор.

Используется в том случае, когда генеральную совокупность можно разбить на несколько типических групп. Из каждой группы отбор производится собственно-случайным или механическим способом. Отбор единиц может осуществляться пропорционально объему типических групп или пропорционально внутригрупповой дифференциации признака.

К преимуществам типического отбора относят:

1) В выборочной совокупности обеспечивается представительство всех типических групп, которые входят в генеральную совокупность.

2) Повышается точность результатов.

При расчете статистической ошибки такой выборки в качестве показателя вариации используют показатель средней из внутригрупповой дисперсий.

При исследовании признака стандартная ошибка будет рассчитываться:

- при бесповторном отборе:

(6.19)

- при повторном отборе:

(6.20)

При исследовании доли дисперсия доли:

(6.21)

4. Серийный (гнездовой) отбор.

Организуется в том случае, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии с определенным равным количеством порций (единиц совокупности) в каждой группе.

Серийный отбор заключается в том, что случайным образом отбираются отдельные группы, серии, гнезда. Внутри каждой отобранной группы обследованию подвергаются все единицы.

Этот способ прост, проводить его легко, однако он имеет следующие недостатки:

1. Не обеспечивается представительство каждой группы.

2. Появляется значительное влияние межсерийной вариации.

Если такая вариация значительна, то случайная ошибка репрезентативности увеличивается.

При оценке стандартной или средней ошибки такой выборки используются следующие формулы:

При бесповторном исследовании признака:

, (6.22)

где – межгрупповая дисперсия:

(6.23)

r – число серий в выборке,

R – число серий (гнезд) в генеральной совокупности.

При исследовании доли:

(6.24)

При повторном исследовании признака:

(6.25)

5. Комбинированный отбор.

Он основан на комбинации ранее рассмотренных способов отбора, например, можно комбинировать типическую и серийную выборки или серийный и собственно-случайный отборы. Ошибка такой выборки определяется ступенчатостью отбора.