Если 3, то получаем формулу расчёта экспоненциальной средней третьего порядка:
,
т.е. сглаживанию подвергаются экспоненциальные средние второго порядка.
Экспоненциальные средние более высоких порядков рекомендуются к применению, если после сглаживания исходного динамического ряда тенденция ряда проявляется недостаточно чётко.
Экспоненциальные средние второго, третьего порядков нашли применение в адаптивном прогнозировании по полиномиальным моделям.
3.3. Адаптивное прогнозирование по полиномиальным моделям
Английский учёный Р. Браун предложил использовать экспоненциальные средние в прогнозировании для вычисление поправок коэффициентов сглаживающего полинома. Предположим, что для прогноза использован линейный тренд:
.
Согласно
теореме Брауна – Майера параметры
линейного тренда связаны с экспоненциальными
средними первого
и
второго
порядков:
;
.
Соответственно:
;
.
Из
формулы расчёта экспоненциальных
средних нам известно, что необходимо
задать начальные условия
,
т.е. определить
и
.
Начальные условия задаются в виде следующих формул:
;
.
Например: По данным о численности персонала, занятого исследованиями (Хабаровский край), произведём прогноз по полиномиальной модели первого порядка, с помощью экспоненциальной средней (таблица 16).
Таблица 16 − Численность персонала, занятого исследованиями, в Хабаровском крае, чел.
Год |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
2009 |
2010 |
Численность персонала, занятого исследованиями, чел. |
906 |
927 |
928 |
970 |
976 |
911 |
833 |
773 |
1010 |
980 |
961 |
936 |
Решение
Проведя аналитическое выравнивание по прямой было получено уравнение тренда:,
где =1,2,…,12.
Параметр определим из формулы:
.
Соответственно:
,
а
.
Начальные условия для экспоненциального сглаживания в нашем примере окажутся:
.
Исходя
из формулы экспоненциальной средней,
экспоненциальные средние
и
составят:
,
где
,
т.е.
и
;
;
,
где
;
.
Тогда скорректированные параметры линейного тренда составят:
;
.
Прогноз проводим по модели:
,
где
− период упреждения.
В
рассматриваемом примере прогноз на
2011 г. составит (при
):
.
Соответственно
при прогнозе на 2012 г. берём
:
.
Если прогноз основывается только на уравнение тренда , то на 2011 г. и на 2012г. он составит:
;
.
Рассмотренные
параметры линейного тренда
и
можно корректировать на новую информацию.
Так, после прогноза на 2011 г. можно вновь
определять
и
и
на их основе можно строить новое
уравнение для прогноза на 2012г.
Если
ряд динамики описывается параболой
второго порядка
,
то рассчитываются экспоненциальные
средние первого (
),
второго (
)
и третьего (
)
порядков. Модель, по которой осуществляется
прогноз, имеет вид:
,
где
,
,
−
оценки параметров уравнения тренда,
скорректированные по экспоненциальному
сглаживанию:
;
:
.
Начальные
условия
для экспоненциальных средних
разных
порядков определяются по формулам:
;
;
.
Экспоненциальные средние:
;
;
.
Например: По данным о надое молока на одну корову в Хабаровском крае (таблица 17) произведём прогноз по полиномиальной модели второго порядка, с помощью экспоненциальной средней:
Таблица 17 − Надой молока на одну корову, кг.
Год |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
2009 |
2010 |
Надой молока на одну корову, кг |
2249 |
2288 |
2210 |
2354 |
2355 |
2473 |
2432 |
2617 |
2743 |
2739 |
2910 |
3185 |