1. Основы применения экономико-статистического моделирования
1.1. Моделирование динамики
Временной ряд − это последовательность значений признака во времени, в котором на каждое последующее значение имеет влияние прошлое состояние изучаемого явления.
Во временном ряду тип связи можно определить исходя из отклонений эмпирических значений от теоретических, полученных по уравнению тренда. Компоненты временного ряда различно воздействуют на величину уровней ряда:
− если факторы, образующие компоненты временного ряда имеют мультипликативную связь, то значения уровней являются произведением этих компонентов:
;
− если факторы связаны аддитивно, то значения уровней временных рядов являются суммой компонентов:
;
− если факторы временного ряда выражены комбинированно, то значения уровней являются или произведением, или суммой компонентов:
,
где
−
уровни временного ряда;
− трендовая составляющая;
−
сезонная компонента;
−
циклическая компонента;
−
случайная компонента.
Выявление основной тенденции развития это один из методов анализа и обобщения временных рядов. Поэтому следует различать понятия:
− основная тенденция;
− тренд;
− закон развития явления.
Тренд − это некоторая аналитическая функция, которая описывает общую тенденцию развития явления на базе лишь одного фактора – фактора времени (t). Тренд не полностью воспроизводит характер тенденции развития и не может рассматриваться как закон развития явления.
Закон развития явления — выражает сущность, природу явления, не поддающуюся описанием тренда.
Временные ряды, в которых можно установить тенденцию и случайный компонент, можно выразить уравнением вида
,
где
−
некоторая функция времени, описывающая
тенденцию временного ряда, называется
трендом;
−
случайная
величина ( случайный компонент ).
Функция определяет общую тенденцию развития изучаемого явления. Для построения модели и прогноза социально-экономических явлений необходимо осуществить проверку гипотезы о наличии тенденции в исходном временном ряду.
1.2. Моделирование тенденции
Анализ и моделирование тенденции временного ряда целесообразно начинать с выявления наличия тенденции. Для этой цели наиболее эффективны такие методы как метод Фостера − Стюарта, критерий серий, кумулятивный Т-критерий и фазочастотный критерий знаков разностей отклонений Валлиса и Мура.
Основные подходы к выявлению тенденции основаны на статистической проверке гипотез о случайности ряда.
Наиболее часто в практике анализа временных рядов используются критерии проверки "наличия-отсутствия" тренда: метод Фостера – Стюарта и критерий серий, основанный на медиане выборки.
Гипотеза о наличии тенденции процесса может быть проверена с помощью метода Фостера − Стюарта. Этот метод может быть реализован в виде следующих этапов:
1. Каждый уровень
ряда сравнивается со всеми предшествующими,
при этом определяются значения
вспомогательных характеристик
и
:
Таким образом,
,
если
больше всех предшествующих уровней,
,
если
меньше всех предшествующих уровней.
2. Вычисляется
для всех
.
Величина
может принимать значения 0; 1; -1.
3. Рассчитывается
характеристика
.
4. С помощью
-критерия
Стьюдента проверяется гипотеза о том,
что можно считать случайной разность
(т.е. ряд можно считать случайным, не
содержащим тренд). Для этого определяется
,
где
− средняя квадратическая ошибка
величины
:
Значения табулированы (таблица 1).
Таблица 1 − Значения стандартных ошибок для для n от 10 до 100
|
|
|
|
|
|
10 |
1,964 |
35 |
2,509 |
80 |
2,816 |
11 |
2,002 |
40 |
2,561 |
85 |
2,837 |
12 |
2,039 |
45 |
2,606 |
90 |
2,857 |
13 |
2,077 |
50 |
2,645 |
95 |
2,876 |
14 |
2,115 |
55 |
2,681 |
100 |
2,894 |
15 |
2,153 |
60 |
2,713 |
|
|
20 |
2,279 |
65 |
2,742 |
|
|
25 |
2,373 |
70 |
2,769 |
|
|
30 |
2,447 |
75 |
2,793 |
|
|
Расчётное значение
сравнивается с критическим значением
,
взятым из таблицы
-распределения
Стьюдента. Если
,
то гипотеза об отсутствии тренда
отвергается.
Например: Изменение числа родившихся в Хабаровском крае представлено в таблице 2:
Таблица 2 − Число родившихся в Хабаровском крае, чел.
Год
|
Число родившихся, чел.
|
Год |
Число родившихся, чел. |
1999 |
11 979 |
2005 |
15 410 |
2000 |
12 400 |
2006 |
15 558 |
2001 |
13 615 |
2007 |
16 303 |
2002 |
14 453 |
2008 |
17 067 |
2003 |
15 392 |
2009 |
17 573 |
2004 |
16 049 |
2010 |
17 407 |
Проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении числа родившихся с помощью метода Фостера – Стюарта. Доверительную вероятность принять равной 0,95.