Введение
Стержневые системы, применяемые в качестве строительных конструкций, в предыдущих разделах курса строительной механики рассчитывались в основном на статическую нагрузку и рассматривались с точки зрения вопросов прочности и жесткости. При этом в ходе исследования вопросов прочности и жесткости мы специально исходили из предположения, что обнаруживаемое в расчете единственное положение равновесия сооружения является близким к реальным условиям.
Вместе с тем хорошо известно, что одного положения равновесия при анализе несущей способности далеко не достаточно, так как любой расчет связан с идеализацией конструкции, ее изготовления и эксплуатации. Инженерные объекты помимо нагрузок, учитываемых в расчетах, всегда подвергаются дополнительным малым возмущениям, стремящимся вывести их из расчетного состояния равновесия.
Таким образом, суть расчета на устойчивость заключается в проверке всех этих условий. Строительные конструкции должны находиться в состоянии устойчивого равновесия. Это означает, что если какие-либо случайные причины выведут систему из состояния равновесия, то после удаления этих причин она вернется в первоначальное состояние. Если же малым возмущениям будут отвечать большие отклонения системы, ее состояние будет неустойчивым.
Нагрузка, при которой устойчивое состояние переходит в неустойчивое называется критической. В дальнейшем основной целью расчета на устойчивость будет определение критической нагрузки (силы, параметра критической силы).
Постановка
задач устойчивости прямолинейных
стержней зависит от степени свободы
расчетной схемы. В данном случае под
степенью
свободы
будем понимать число независимых
параметров
,
полностью определяющих возможные
перемещения всех точек расчетной схемы.
Например, устойчивость стержней очень
большой жесткости (
)
определяется податливостью опорных
связей. Рассмотрим несколько примеров,
приведенных на рис. 1.
На
рис. 1,а степень свободы стержня
,
так как его положение определяется
одним параметром – углом поворота
вокруг нижней неподвижной опоры. Степень
свободы стойки, состоящей из двух звеньев
(рис. 1,б)
,
так как положение двух звеньев определяется
при помощи двух угловых параметров
и
.
Для реальных упругих систем (рис. 1, в)
степень свободы
,
так как для полной деформированной
схемы необходимо знать перемещения
бесконечного множества точек.
Критическую силу расчетных схем, состоящих из стержней с жесткостью находят, составляя уравнения равновесия для предполагаемой формы потери устойчивости.
Рис. 1
Далее рассмотрим конкретные задачи.
Расчет стержневых систем с конечным числом степеней свободы на устойчивость
Пример 1.
Определить
критическую силу
для абсолютно жесткой стойки (рис. 2,
а), имеющей упругоподатливую опору
(пружину) с коэффициентом жесткости
.
Рис 2.
Решение.
Заданная схема имеет одну степень свободы , так как ее положение определяется одним параметром – углом поворота относительно нижней неподвижной опоры стержня
.
Зададим поворот вокруг шарнирно-неподвижной
опоры
(рис. 2, б) и обозначим величину смещения
точки
,
вызванное сжимающей силой стержня
через стержня
.Рассмотрим равновесное состояние полученной формы потери устойчивости (рис. 2, в), где - активная сила, стержня
- реакция упругоподатливой опоры, в
которой существует линейная зависимость
между коэффициентом жесткости пружины
и горизонтальным смещением точки
стержня
.
Далее условимся считать, что активная сила сохраняет свое вертикальное направление при любой конфигурации системы.
Запишем уравнение равновесия таким образом, чтобы в него входили известные все величины и сила :
где
,
учитывая, что
,
.
Решая уравнение, получаем:
Пример 2.
Определить
критическую силу
для абсолютно жесткой стойки (рис. 3, а),
имеющей упругоподатливую опору в точке
с коэффициентом жесткости
.
Рис. 3
Решение.
Заданная схема имеет одну степень свободы , так как деформация системы может заключаться лишь в повороте стержня на угол
,
вызванном сжимающей силой
(рис. 3,б).Рассмотрим равновесное состояние полученной формы потери устойчивости (рис. 3, в), где - активная сила, стержня
- реактивный момент круговой
упругоподатливой опоры, в которой
существует линейная зависимость между
коэффициентом жесткости пружины
и углом поворота стержня на угол
.Запишем уравнение равновесия таким образом, чтобы в него входили известные все величины и сила :
где
,
учитывая, что
,
.
Решая уравнение, получаем:
Пример 3.
Определить
критическую силу
для системы, состоящей из абсолютно
жесткого стержня
и плоской рамы конечной жесткости
(рис. 4, а).
Рис. 4
Решение.
Зададим возможную форму потери устойчивости расчетной схемы. В результате изгиба элементов рамы
абсолютно жесткий стержень
повернется на угол
относительно точки
,
а точка
горизонтально переместится на величину
.
Поэтому расчетная схема может быть
представлена в виде вертикального
стержня
,
а рама, состоящая из элементов конечной
жесткости может быть заменена пружинкой
или упруго податливой связью с жесткостью
(рис. 4, б).Полученная расчетная схема, по аналогии с примером 1, имеет одну степень свободы, а величина критической силы определяется величиной
Определение жесткости упругоподатливой связи . Жесткость связи определяется по формуле:
где
- единичное перемещение рамы в точке
от единичной силы
,
направленной в сторону перемещения
точки
.
Для
определения
рассмотрим отдельно раму конечной
жесткости (рис. 5, а) и построим эпюру
(рис. 5, б).
Рис. 5
Используя интеграл Мора, получаем:
Жесткость связи примет вид:
Численное значение критической сжимающей силы:
