2.3. Определение корней трансцендентного уравнения методом половинного деления
Пусть
корень
уравнения
отделен и находится на отрезке
,
то есть
,
причем
(здесь
- непрерывная функция).
Рис. 6
Возьмем
на отрезке
промежуточную точку так, чтобы она
являлась серединой отрезка
,
то есть
.
В результате этой операции этот отрезок
точкой
разделяется на два равных отрезка:
и
,
длина которых равна
(рис. 6).
Если
,
то
- точный корень уравнения
.
Если же
,
то из двух образовавшихся отрезков
и
выбираем тот, на концах которого функция
принимает значения противоположных
знаков; обозначим его
.
Затем отрезок
также делим пополам и проводим те же
рассуждения. Получаем отрезок
,
длина которого равна
.
Процесс деления отрезка пополам
продолжаем до тех пор, пока на каком-то
этапе либо середина отрезка будет корнем
уравнения, либо будет получен отрезок
такой, что
и
(число
указывает на количество проведенных
делений). Числа
- корни уравнения
с точностью до
.
За приближенное значение корня, как
указывалось выше, следует взять
,
причем погрешность не превышает
.
Пример 4.
Определить
наименьший корень уравнения
,
точность расчета
.
Решение.
Определим корни этого уравнения аналитически. Функция определена на всей числовой оси. Составим таблицу знаков функции.
Таблица 1
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
|
- |
+ |
- |
- |
+ |
+ |
Из
Таблицы 1 видно, что первый корень
содержится в интервале
.
Возьмем для пробы
и найдем
.
Таблица 2
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
- |
+ |
- |
- |
+ |
Следовательно,
корни уравнения
находятся в интервалах
,
,
.
Уточним
меньший корень, лежащий в интервале
,
методом деления отрезка пополам. Для
удобства вычислений составим Таблицу
3 (знаки «-» и «+» в верхних индексах
означают, что
и
).
Таблица 3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-3 |
-2 |
-2,5 |
-15,625 |
18,75 |
0,125 |
1 |
-3 |
-2,5 |
-2,75 |
-20,8 |
22,689 |
-1,111 |
2 |
-2,75 |
-2,5 |
-2,625 |
-17,99 |
20,67 |
-,32 |
3 |
-2,625 |
-2,5 |
-2,563 |
-16,84 |
19,701 |
-0,139 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
-2,563 |
-2,5 |
-2,532 |
-16,23 |
19,233 |
0,003 |
5 |
-2,563 |
-2,532 |
-2,548 |
-16,54 |
19,479 |
-0,071 |
6 |
-2,546 |
2,532 |
-2,54 |
-16,39 |
19,356 |
-0,034 |
7 |
-2,540 |
2,532 |
-2,536 |
-16,31 |
19,293 |
-0,014 |
8 |
-2,536 |
2,532 |
-2,534 |
-16,27 |
19,263 |
-0,007 |
9 |
-2,534 |
2,532 |
-2,533 |
-16,25 |
19,248 |
-0,002 |
10 |
-2,533 |
2,532 |
|
|
|
|
Таким
образом, корень уравнения
.