Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения (оду).
Метод конечных разностей, основанный на конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. В результате аппроксимации получается совокупность разностных уравнений, представляющая собой систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с трехдиагональной матрицей. Эффективным методом решения такой системы уравнений является метод прогонки.
1. Метод конечных разностей
Рассмотрим краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка:
,
(1)
,
(2)
где
- известные функции,
- заданные постоянные.
Решить
задачу (1) - (2) – это значит найти функцию
на отрезке
,
удовлетворяющую уравнению (1) и на концах
отрезка краевым условиям (2).
Будем предполагать, что рассматриваемая задача имеет единственное решение.
Разобьем
отрезок
на n
равных частей точками
,
,
- шаг разбиения,
- значения функции в точках
(рис. 1).
Рис. 1
Во
внутренних точках отрезка заменим
конечными разностями
.
Погрешность
такой замены
.
В уравнении (1) в точках
вместо производной подставим конечные
разности
.
(3)
Получим
систему разностных уравнений (3), которая
является системой
алгебраических уравнений относительно
значений функции
.
Значения
и
,
входящие в первое и последнее уравнения
системы, определяются из условий (2)
,
.
Обозначив
,
запишем систему (3) в виде:
или
.
Уравнения
системы при
:
Известные значения и перенесем в правую часть, тогда система (3):
………………………………………………………... (4)
…………………………………………………………
……………………………………………………….. 
или в матричном виде:
,
где
,
,
.
Система с трехдиагональной матрицей. Для решения таких систем используется специальный метод прогонки.
2. Метод прогонки
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей порядка n.
…………………………………………………………………….. (5)
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
Метод прогонки является частным случаем метода Гаусса решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей.
В
системе (5) будем исключать элементы,
содержащие
.
В результате уравнения системы будут
иметь два неизвестных
и
.
Запишем эти уравнения в виде:
.
(6)
Определим
и
.
Из первого уравнения системы (5):
,
,
. (7)
Для
нахождения
и
возьмем уравнения системы (5)
, 
и равенство (6), сдвинув индекс на единицу
,
.
Исключим
из этих равенств
.
Отсюда выражаем
.
Сравнивая с (6), получим:
,
,
. (8)
,
называются прогоночными
коэффициентами,
а их нахождение называется прямой
прогонкой.
Обратная
прогонка
состоит в последовательном вычислении
неизвестных
.
Сначала
найдем
.
Для этого возьмем последнее уравнение
системы (5) и выражение (6) при
,
.
Исключая
находим
.
,
.
(9)
Далее, используя (6) и выражения для прогоночных коэффициентов (7), (8), последовательно вычисляем
.
Схема вычислений
Исходные
данные: 
,
,
.
Прямая прогонка
1. , ,
2.
,
, 
.
Обратная прогонка
3. ,
4.
, 
.
Результаты: 
.
(*)
Условия применимости метода прогонки (условие преобладания диагональных элементов):
и
,
(**)
система (5) имеет единственное решение, метод будет устойчив к погрешностям округления, используется метод прогонки для решения систем большого порядка.
3. Метод конечных разностей (продолжение)
Вернемся к рассмотрению системы (4), т.е.
………………………………………………………... (4)
…………………………………………………………
………………………………………………………..
Порядок системы (4) равен . Матрица системы трехдиагональная.
Неизвестные
.
На главной диагонали элементы равны
,
,
элементы на двух других диагоналях
, 
.
Свободные члены системы равны
,
,
,
.
Дополнительно
потребуем, чтобы
,
и, следовательно,
,
.
Для системы выполняется условие преобладания диагональных элементов
.
При выполнении этого условия решение системы существует и единственно.
Решаем систему (4) методом прогонки (*). Условие (**) при этом обеспечивает и устойчивость решения системы к погрешностям округления. Полученные значения есть разностное (приближенное) решение краевой задачи (1) - (2).
Утверждение:
если функции
и
дважды непрерывно дифференцируемые,
то при
разностное решение равномерно сходится
к точному со скоростью
.
Погрешность решения yi1 оценивается по формуле
где p – порядок точности метода, yi,T – точное решение.
Пример 2. Решить краевую задачу
Решение.
В уравнении
,
отрезок от 0 до
разобьем на 8 частей точками
,
i
=0,
1, …, 7,
8;
.
Конечно-разностное уравнение
, 
или
,
.
Учитывая,
что
,
и, обозначив
,
представим систему в виде:
Имеем систему с трехдиагональной матрицей. Порядок системы равен 7. Условие преобладания диагональных элементов выполняется.
Систему решаем методом прогонки (*, n = 7), при этом
, 
,
, 
.
Таблица вычислений
|
Исходные данные |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Прогоночные коэффициенты |
Результаты |
||||
i |
|
|
|
|
|
|
погреш-ть |
0 |
0,0000 |
|
|
|
|
0,0000 |
|
1 |
0,1963 |
0,0150 |
0,4905 |
-0,0074 |
-0,1093 |
-0,1092 |
-0,0001 |
2 |
0,3927 |
0,0295 |
0,6460 |
-0,0238 |
-0,2078 |
-0,2076 |
-0,0001 |
3 |
0,5890 |
0,0428 |
0,7181 |
-0,0479 |
-0,2847 |
-0,2845 |
-0,0002 |
4 |
0,7854 |
0,0545 |
0,7573 |
-0,0775 |
-0,3299 |
-0,3296 |
-0,0002 |
5 |
0,9817 |
0,0641 |
0,7805 |
-0,1106 |
-0,3332 |
-0,3330 |
-0,0002 |
6 |
1,1781 |
0,0712 |
0,7949 |
-0,1445 |
-0,2852 |
-0,2850 |
-0,0002 |
7 |
1,3744 |
0,0756 |
|
|
-0,1770 |
-0,1769 |
-0,0001 |
8 |
1,5708 |
|
|
|
|
0,0000 |
|
(точное)
Точное
решение данной краевой задачи
.
Погрешность составляет ~ 2.10-4 при h = 0,1963