5. Аппроксимация производных в краевых условиях центральными разностями

Для повышения точности решения краевой задачи (11), (12) первые производные, входящие в условия (12) лучше заменить центральными разностями

, ,

при этом обеспечивается погрешность такая же, как и при замене дифференциального уравнения (11) конечно-разностным.

В эти выражения производных входят значения функции в фиктивных узлах , лежащих вне рассматриваемого отрезка.

Рис. 2

В этих узлах функция должна быть определена.

Количество неизвестных системы увеличивается на 2 и поэтому привлекаем еще 2 разностных уравнения для и . Для этого:

I). В точке запишем краевое условие, заменив производную центральной разностью и разностное уравнение (15) при :

,

.

Из второго уравнения выразим и подставим в первое:

,

и получим уравнение, связывающее и :

(18)

II). В точке запишем краевое условие, заменив производную центральной разностью и разностное уравнение (15) при :

,

.

Из второго уравнения выразим и подставим в первое:

,

и получим уравнение, связывающее и :

. (19)

Заменим в системе (16) первое и последнее уравнения соответственно на (18) и (19) и получим систему:

(20)

где

, , ,

, , , , ,

, , .

Эта система с трехдиагональной матрицей порядка , неизвестные . Решаем методом прогонки (*).

Пример 5.

Решить краевую задачу

;

; .

Используем аппроксимация производных в краевых условиях центральными разностями (система (20)).

В этом случае: ,

,

.

Решаем методом прогонки (*, n =17).

Таблица вычислений

						Прог-ные к-ты		Результаты
i									точное	погреш.
0	0,0000		-2,3199	2,1032	0,0101	0,9066	-0,0044	0,2286	0,23089	-0,0023
1	0,0982	0,9509	-2,0193	1,0491	0,0068	0,9096	-0,0094	0,2570	0,25892	-0,0019
2	0,1963	0,9509	-2,0193	1,0491	0,0038	0,9066	-0,0110	0,2938	0,29550	-0,0017
3	0,2945	0,9509	-2,0193	1,0491	0,0008	0,9066	-0,0098	0,3363	0,33771	-0,0014
4	0,3927	0,9509	-2,0193	1,0491	-0,0022	0,9066	-0,0062	0,3818	0,38295	-0,0012
5	0,4909	0,9509	-2,0193	1,0491	-0,0051	0,9066	-0,0006	0,4279	0,42892	-0,0010
6	0,5890	0,9509	-2,0193	1,0491	-0,0081	0,9066	0,0064	0,4727	0,47356	-0,0008
7	0,6872	0,9509	-2,0193	1,0491	-0,0109	0,9066	0,0147	0,5143	0,51504	-0,0007
8	0,7854	0,9509	-2,0193	1,0491	-0,0136	0,9066	0,0239	0,5511	0,55171	-0,0006
9	0,8836	0,9509	-2,0193	1,0491	-0,0162	0,9066	0,0336	0,5816	0,58209	-0,0004
10	0,9817	0,9509	-2,0193	1,0491	-0,0187	0,9066	0,0438	0,6045	0,60483	-0,0003
11	1,0799	0,9509	-2,0193	1,0491	-0,0210	0,9066	0,0541	0,6185	0,61873	-0,0002
12	1,1781	0,9509	-2,0193	1,0491	-0,0230	0,9066	0,0643	0,6226	0,62272	-0,0002
13	1,2763	0,9509	-2,0193	1,0491	-0,0249	0,9066	0,0744	0,6158	0,61582	-0,0001
14	1,3744	0,9509	-2,0193	1,0491	-0,0265	0,9066	0,0840	0,5972	0,59717	0,0000
15	1,4726	0,9509	-2,0193	1,0491	-0,0278	0,9066	0,0931	0,5661	0,56600	0,0001
16	1,5708	-1,9064	2,1211		0,0276			0,5218	0,52161	0,0002

Погрешность численного решения составляет , на границах отрезка благодаря использованию аппроксимации производных в краевых условиях центральными разностями (разностями второго порядка) снизилась (почти на два порядка) по сравнению с погрешностью решения при аппроксимации производных конечными разностями первого порядка.

Физическое приложение

Уравнение теплопроводности:

Граничные условия:

x=0:

x=L:

w₁ – поток тепла, идущего на испарение и излучение,

w₂ – поток отводимого тепла (охлаждение);

W – объемный источник тепла

 – теплопроводность