§ 4. Числовые множества

Элементами множества могут быть объекты различной природы (буквы, числа, люди, атомы, слова, точки и т.д.). Для математики особую роль играют изучаемые множества, элементами которых являются «математические» объекты (числа, точки, функции…).

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

Так как в математике мы очень часто имеем дело с некоторыми определенными числовыми множествами, для них введены следующие специальные обозначения:

N – множество всех натуральных чисел;

Z – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

Q+ − множество всех положительных чисел.

Особое место занимают множества, называемые числовыми промежутками.

Например:

отрезок [a;b] – множество всех х, удовлетворяющих неравенству a ≤ x ≤ b;

полуинтервал [a;b) – множество всех х удовлетворяющих неравенству a ≤ x < b;

полуинтервал (a;b] – множество всех х удовлетворяющих неравенству a < x ≤ b;

интервал (a;b) – множество всех х удовлетворяющих неравенству a < x < b;

полуинтервал [a;+ ∞) – множество всех х удовлетворяющих неравенству a ≤ х;

интервал (a;+ ∞) – множество всех х удовлетворяющих неравенству a < х;

полуинтервал (−∞; b] – множество всех х удовлетворяющих неравенству х ≤ b;

интервал (−∞; b)– множество х удовлетворяющих неравенству х < b;

Вопросы и задания

1. Приведите примеры множеств, которые встречаются в жизненных ситуациях.

2. Как называется :

а) множество птиц;

б) множество цветов, стоящих в вазе;

в) множество лошадей;

г) множество людей в поезде?

3. Приведите примеры множеств, взятых из геометрии.

4. Назовите известные вам числовые множества.

5. Запишите множество цифр, с помощью которых записаны числа:

а) 140576; б) 223301; в)10001110.

6. Запишите множество всех цифр.

7. { 1; 0; 7; 3} – множество цифр числа А, { 1; 0; 3; 4 } – множество цифр числа В. Можно ли утверждать, что число А меньше числа В.

8. { 5; 9; 8; 7; 6 } – множество цифр числа С, { 9; 8; 7; 1 } – множество цифр числа D. Можно ли утверждать, что число С больше числа D.

9. Назовите элементы, принадлежащие множествам:

а) целых чисел; б) натуральных чисел; в) неотрицательных чисел; г) целых неположительных чисел; д) чисел, кратных 3; е) четных чисел; ж) чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 3; з) квадратов целых чисел; чисел, обратных кубам натуральных чисел.

10. Задайте перечислением элементов следующие множества:

а) однозначных нечетных чисел;

б) двузначных четных чисел, меньших 20;

в) однозначных четных чисел;

г) двузначных нечетных чисел, больших 10 и меньших 20.

11. Задайте перечислением элементов множество всех натуральных чисел, которые являются делителями числа 36. Можно ли задать таким способом множество всех натуральных кратных числа 36?

12. Задайте множество всех двузначных натуральных кратных числа 19.

13. А – множество всех делителей числа 40. Перечислите элементы этого множества. Верна ли запись: 9 ∈ А; 10 ∈ А; −8 ∈ А; 4∈ А; 0 ∈ А; 3 ∈ А; 0 ∈ А.

14. Пусть М – множество всех натуральных чисел, для которых справедливо неравенство m < 7. Назовите элементы данного множества. Перечислите натуральные числа, не принадлежащие данному множеству.

15. Пусть К – множество всех натуральных чисел, для которых справедливо неравенство – 17 < х ≤ 5. Выпишите все элементы данного множества.

16. Запишите неравенство, решением которого служит множество:

а) А = [ − 3; 3 ]; б) В= [ − 7; 18 ]; в) С = [ − 9; 1,7 ].

17. Запишите неравенство, решением которого служит множество:

а) К = (− ∞; 7]; б) Е = [ − 8; + ∞ ); в) Т = (1,7; + ∞); г) С = (− ∞; − 3); д) Р = (1,36; + ∞).

18. Какой отрезок координатной прямой является решением неравенства – 3 ≤ х ≤ 3?

19. Множеством решений каких неравенств являются: а) абсциссы точек прямоугольника ABCD ; б) ординаты точек прямоугольника ABCD ?

20. Напишите множество натуральных значений а, при которых верно неравенство:

а) < ; б) > ; в) < ; г) > ; д) 1 < < ; е) > ;

ж) < ; з) < ; и) < ; к) < .

21. Выпишите элементы множества натуральных чисел, которые являются решением неравенства, левая часть которого – неправильная дробь:

а) < 2; б) > х ; в) > х .

22. Каким общим свойством обладают все числа, заключенные в фигурных скобках:

а) {11; 12; 13; 14; 15}; б) ; ; ; ?

23. Какое множество образуют числа

10, 11, 12, 13, 14, 15 ?

24. В следующих множествах всех элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Опишите это свойство и найдите элементы, не обладающие им:

а) { треугольник, квадрат, круг, прямоугольник, правильный шестиугольник};

б) { лев, лисица, гиена, слон, рысь};

в) { бежать, смотреть, синий, рисовать, знать};

г) {2; 6; 15; 84; 156; 1113; 875136};

д) {2; 7; 13; 16; 29; 997};

е) {1; 9; 63; 49; 121};

ж) {сумма; разность; множитель; частное};

з { } ;

и) { 0 1 2 3 } ;

к) девять; двенадцать; восемь; пятнадцать;

л) семнадцать; три; сорок; два.

25. Угадайте законы, по которым составлено бесконечное множество, содержащее числа:

а) { ; ; ; ;…} ;

б) { ; ; ; ;…} ;

в) { ; ; ; ;…} ;

г) { - ; - ; - ; - ;…} ;

д) {- ; ; - ; ; - ; …} ;

Назовите еще несколько чисел, принадлежащих данным множествам.

26. Определите характеристическим свойством множество всех равнобедренных треугольников.

27. Определите характеристическим свойством множество всех правильных многоугольников.

28. Определите характеристическим свойством множество всех натуральных чисел, кратных 6.

29. Задайте характеристическим свойством:

а) множество квадратов;

б) множество параллельных прямых;

в) множество равных треугольников.

30. Даны множества вида А = {k},В = {k²},С = {2k},D = {3k}, Е = {4k + 1},К = {2k + 1}, где k ∈ N. Приведите примеры элементов данных множеств. Укажите, каким множествам принадлежат числа 3,4,25,13,21. Запишите принадлежность этих чисел данному множеству. Укажите, каким множествам не принадлежат эти числа ( при записи ответа, используйте символы ).

31. Задайте перечислением всех элементов множества, заданные с помощью свойства:

а) А = {х ϵ N | х < 5};

б) С ={х ϵ Z |0 < х ≤ 5};

в) В ={х ϵ Z+ | х ≤ 5};

г) Е ={х ϵ Z || х | < 20}.

32. Перечислите элементы множеств, заданных характеристическими свойствами:

а) А = {х ϵ N | - 1,1 < х < 5};

б) В = {х ϵ N | х = 12k + 5, k ϵ Z, х < 20}.

33. На плоскости заданы три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Опишите и нарисуйте множество точек М этой плоскости, для которых:

а) АМ = ВМ = СМ; б) АМ = МВ.

34. Приведите примеры конечных и бесконечных множеств.

35. Что общего между множеством букв в слове «море», сторонами прямоугольника, углами в классной комнате, сторонами горизонта?

36. Сколько элементов во множестве:

а) цифр;

б) сторон треугольника;

в) букв в алфавите русского языка;

г) букв в слове «число»;

д) цифр числа 58703108?

37. Сколько элементов в множестве чисел, не меньших и не больших 123 ?

38. Какие из следующих множеств пустые:

а) множество корней уравнения | − 5х | = 0;

б) множество прямых плоскости, перпендикулярных двум пересекающимся прямым;

в) множество корней уравнения | 8х– 9 | = − 5 .

39. Из скольких элементов состоит множество всевозможных трехзначных чисел, которые можно составить из трех данных различных, не равных нулю цифр. Зависит ли результат от того, какие именно цифры взяты?

40. Из скольких элементов состоит множество всех трехзначных чисел, которые можно составить из трех данных различных цифр, одна из которых нуль? Перечислите эти элементы.

41. Из скольких элементов состоит множество всех четырехзначных чисел, которые можно составить из четырех данных различных цифр, если:

а) одна цифра – нуль;

б) ни одна из цифр не равна нулю?

Выпишите эти элементы.

42. Из скольких элементов состоит множество всех четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна 3? Выпишите все элементы этого множества.

43. Сколько элементов содержит множество всех трехзначных чисел, которые можно составить из трех данных цифр, если две из них одинаковые?