§ 6. Пересечение множеств

В классе имеется танцевальная группа А = {а; b; c; d; e; f; g; h} и хоровая группа

В = {a; b; c; m; n; o; p; r; s; t}. Учащиеся, являющиеся члена обеих групп, образуют множество {a; b; c}, называемое пересечением множеств А и В и символически обозначаемое А ∩ В.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пересечением А ∩ В двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В.

Графически удобно пересечение двух множеств изображать в виде общей части двух или более кругов Эйлера:

Вопросы и задания

55. Приведите свои примеры применения в реальной жизни операции пересечения множеств.

56. Из каких элементов состоит множество С, если известно, что А– множество учащихся 6 класса, В – множество всех мальчиков и девочек вашей школы и С = А ∩ В.

57. Используя рисунок, назовите и покажите фигуру, которая является общей частью:

а) лучей АХ и AY; б) лучей BX и AY; в) луча AX и отрезка AB; г) луча AY и луча BY; д) луча AХ и прямой ХY; е) отрезка АВ и прямой АВ.

58. Используя рисунок к задаче 57, запишите и изобразите пересечение фигур:

а) отрезка АВ и прямой XY;

б) луча АВ и луча ВА;

в) луча АВ и прямой АВ;

г) отрезка АВ и прямой АВ.

59. Какая фигура может служить пресечением двух кругов?

(Ответ проиллюстрируйте рисунком).

60. При пересечении трех фигур А, В, С получилась фигура К. Какими могут быть фигуры А, В, С , если :

61. Даны два множества: множество всех четных чисел второго десятка и множество всех двузначных чисел, кратных трем. Найдите все числа, которые принадлежат как первому, так и второму множеству.

62. Пусть А – множество простых чисел, В – множество положительных четных чисел. Найдите пересечение этих множеств.

63. Пусть К – любое множество. Найдите пересечение К ∩ , К ∩ К.

64. Существуют ли два угла, такие, чтобы их пересечением (как множество точек) мог служить развернутый угол?

65. Рассмотрите рисунок. отметьте точки Е, К, Р, которые принадлежали бы только углу CBD , и точки X и Y, принадлежащие и углу CBD, и углу АВС. Какому углу принадлежат все отмеченные точки?

66. Перечислите натуральные числа, принадлежащие пересечению множеств А и В, если множеству А принадлежат числа, большие – 3, 7, но меньшие 10, а множество

В – множество чисел, больших 0, но меньших 12, 3.

67. Пусть множество натуральных чисел N = { n }. Найдите пересечение следующих множеств:

а) А = {2п + 1} и В = {4п + 3};

б) А = {3п} и В = {5п};

в) А = {2п} и В = {3п + 1};

г) А = {3п + 2} и В = {4п + 1};

68. Множество А состоит из целых чисел, делящихся на 4, множество В – из целых чисел, делящихся на 10 и множество С – из целых чисел, делящихся на 75. Из каких чисел состоит множество А ∩ В ∩ С ?

69. Какие углы могут иметь треугольники, принадлежащие пересечению множества равнобедренных треугольников с множеством треугольников, имеющих угол 30 °?

70. Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением треугольника АВС и прямоугольника ВЕСК, если ВЕ = 0,5 дм, ЕС = 6,2 м.

71. Относительно некоторых множеств А, В, М высказывают два условия:

1) все элементы множества М принадлежат множеству А и множеству В;

2) все общие элементы множеств А и В принадлежат М.

а) Придумайте три множества, для которых выполняется условие 1) , но не выполняется условия 2);

б) придумайте три множества, для которых выполняется условие 1) и условие 2);

в) как называется множество М по отношению к множествам А и В , если выполняются оба условия;

г) какие из следующих высказываний истинны, если выполняются оба условия:

1) для любого х, если х принадлежит множеству М , то х принадлежит и множеству А;

2) для любого у , если у принадлежит множеству В, то у принадлежит и множеству М;

3) М = А ∩ В;

4) А  М.

72. Выпишите и изобразите пересечение множеств А и В ( А ∩ В), если:

а) А = ( - 7; 2), В = [ - 5; 6 ];

б) А = ( - 3; 9], В = [ - 1; 1 );

в) А = [ - 1; 7], В = [ 5; 11 );

г) А = [ - 4; 6], В = [ 8; 10 ];

д) А = ( - ∞; 7], В = ( 3; + ∞ );

е) А = ( - ∞; 2), В = ( - 4; + ∞ );

ж) А = ( - ∞; − 6], В = [ 0; + ∞ );

з) А = ( - ∞; + ∞), В = ( - 1; 9 ).