2.4. Вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница

Пусть функция непрерывна на , а - одна из непрерывных на отрезке , первообразных для , т.е. , тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница:

. (18)

Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл по данной формуле, необходимо:

1) проверить, что функция непрерывна на отрезке ;

2) найти первообразную подынтегральной функции , проверить ее на непрерывность на отрезке ;

3) воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.

Пример 2.1.

. Подынтегральная функция и первообразная непрерывны на промежутке интегрирования, поэтому формулой Ньютона-Лейбница пользоваться можно: .

Пример 2.2.

. Подынтегральная функция и первообразная непрерывны на промежутке интегрирования, поэтому .

Пример 2.3.

. Здесь подынтегральная функция терпит разрыв в точке . Поэтому формулой Ньютона-Лейбница в данном примере воспользоваться нельзя, однако выражения такого типа имеют определенный смысл, который рассмотрим в дальнейшем (см. п. 2.8.2., пример 1).

2.5. Основные свойства определенного интеграла

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) Оценка определенного интеграла: если на , то .

7) Если четная функция, то .

8) Если нечетная функция, то .

Пример 2.4.

, поскольку подынтегральная функция – нечетная функция.

Пример 2.5.

, т.к. подынтегральная функция – четная функция.

2.6. Замена переменной в определенном интеграле

Если функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывна вместе со своей производной на , причем , то

(19)

Порядок вычисления:

1. ввести новую переменную с помощью подстановки вида или . Выбор подходящей переменной см. по п. 1.4.1 (табл. 2), п-п. 1.6 и 1.7;

2. продифференцировать введенную в п. 1) подстановку;

3. найти новые пределы интегрирования и с помощью формулы из п. 1);

4. выразить все, что стоит под знаком интеграла, через новую переменную;

5. вычислить полученный интеграл.

Отметим, что если при вычислении определенного интеграла методом замены переменной аккуратно выполнены п.1)-4), то возвращаться к старой переменной не нужно, а можно вычислить интеграл, используя новую переменную.

Пример 2.6.

. Подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования. Применим формулу замены переменной. В табл. 2 находим требуемую подстановку , новые пределы интегрирования имеют вид: если , то , если же , то . Выразив подынтегральное выражение, вычислим полученный интеграл: .

Пример 2.7.

. Подынтегральная функция – четная относительно , поэтому по свойству 7 из п. 2.5 получим: . Поскольку подынтегральная функция нечетная относительно , то подстановка приводит к цели (см. табл.4 и 5):

.

Пример 2.8.

. Подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования. Здесь значение интеграла можно вычислить, используя замену (см. табл. 2):

. Отметим, что этот результат можно получить и без вычислений, заметив, что подынтегральная функция нечетна относительно , и воспользовавшись свойством 8 из п. 2.5.