Пример 2.11.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: ,

т.к. , т.е. интеграл сходится.

Пример 2.12.

. Поскольку , подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования. Сделаем замену (см. п. 1.5), получим: , поскольку нечетная функция, а . Таким образом, интеграл сходится.

Пример 2.13.

. Подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования. Удобна замена , являющаяся непрерывной и монотонной в области интегрирования: ,

поскольку , интеграл расходится.

2.8.2. Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы II рода)

Если функция непрерывна при и , то по определению . (27)

Если функция непрерывна при и , то . (28)

Если функция имеет бесконечный разрыв во внутренней точке промежутка , то по определению полагают:

. (29)

Порядок вычисления несобственного интеграла от неограниченных функций аналогичен порядку вычисления несобственного интеграла с бесконечными пределами. Определения сходящегося и расходящегося интегралов аналогичны соответствующим для несобственных интегралов с бесконечными пределами. Интеграл (29) сходится, если существуют и конечны оба предела.

Как и в п. 2.8.1. можно записать аналог формулы Ньютона-Лейбница:

, (30)

если непрерывна на , а под понимается .

Аналогично

, (31)

если непрерывна на , а .

, где - точка бесконечного разрыва подынтегральной функции, первообразные функции на участках и , на которых непрерывна. Интеграл в последнем случае сходится, если существуют и конечны оба предела и . Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то интеграл расходится.

Интегрирование по частям и способ подстановки см. в п. 2.8.1.

Пример 2.14.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: . Подынтегральная функция терпит разрыв в точке , поэтому , поскольку , интеграл расходится.

Пример 2.15.

. Подынтегральная функция обращается в бесконечность в точке . Сделаем замену , монотонную в области интегрирования : , т.е. интеграл сходится.

Пример 2.16.

. Подынтегральная функция бесконечна в точке . Сделаем замену , монотонную в области интегрирования: , т.е. интеграл сходится.

Пример 2.17.

. Подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования всюду, кроме точки . В качестве первообразной на обоих промежутках и можно взять функцию , поэтому ,т.е. интеграл сходится.

2.9. Вычисление площади плоской фигуры

Задача вычисления площади плоской фигуры, которая привела нас к понятию определенного интеграла, была рассмотрена в п. 2.1. В данном подразделе рассмотрим задачу вычисления площади плоской фигуры в более общей ситуации и для различных способов задания кривой.

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций

Пусть и - две непрерывные функции и - две прямые (рис. 4). Площадь фигуры, ограниченной данными линиями вычисляется по формуле:

. (32)

Порядок вычисления:

1. построить чертеж;

2. найти пределы интегрирования;

3. применить формулу (32).

Пример 2.18.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой и прямой: .

Решение. Построим чертеж данной фигуры (рис. 5). Найдем пределы интегрирования, решив систему уравнений: отсюда , значит, пределы интегрирования . Применяем формулу (32):

(кв. ед.).