Глава I.Необычный способ получения синусоиды.

§ 1. Сечение цилиндра, радиус основания которого 1, а угол наклона 45º с плоскостью окружности.

Рассмотрим подробно решение этой задачи.

Прежде всего, представленную практическую ситуацию переведём на язык математики, т.е. построим математическую модель. Для этого возьмём лист бумаги (он имеет форму прямоугольника) и нарисуем на нём оси координат параллельно соответствующим сторонам. (рис. 1)

рис.1

Затем свернём этот прямоугольник в прямой круговой цилиндр, радиус основания которого примем за единицу. Ось Оx свернётся в окружность радиусом 1, а ось Оy станет образующей цилиндра. Через диаметр полученной окружности, проходящий через точку О, проведём сечение, составляющее с плоскостью окружности угол в 45°. В этом случае сечением будет эллипс. (см. рис. 2)

рис.2

-5-

Возьмём на эллипсе какую-нибудь точку, например точку А, и опустим из неё перпендикуляры на плоскость окружности и диаметр окружности OD. Получим соответственно точки B и C. Треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, так как угол ABC=90°, а угол ACB=45°. Следовательно, АВ=ВС.

На рис. 3 наглядно видно, что ВС=sinx, где х-длина дуги ОВ. Для этого достаточно вспомнить определение синуса угла ВО₁С в прямоугольном ∆ ВО₁С.

рис.3

Итак, АВ=sinx. Теперь развернём цилиндр обратно в прямоугольник. При этом получим кривую, для которой АВ=sinx, где х=ОВ. Из всего сказанного следует вывод о том, что кривая- часть синусоиды-рис4.

рис.4

-6-

§ 2. Сечение цилиндра, радиус основания которого 1, а угол наклона с плоскостью окружности не 45º.

Выясним, какие кривые получатся, если сечения проводить не под углом 45⁰, а под другими углами α.

Обратимся к рисунку 2. Угол АСВ равен α и по определению тангенса из прямоугольного ∆АВС следует, что АВ=tgα·ВС. Итак, можно сделать вывод, что будут получаться кривые, для которых АВ= k·sinx, где k= tgα, т. е. синусоиды.

Рассмотрим на примере два случая:

1) 0<α<45°, тогда 0<tgα<1 и имеем сжатие sinx по оси Oy. Например, если α=30°, tg30°= и

АВ= sin x≈0,58sinx-рис.5.

. рис.5

2) 45°<α<90°, тогда tgα>1 и имеем растяжение sinx по оси Оу. Например, если α=60°, tg60⁰= ,АВ= sinx≈1,7sinx-рис.6.

рис.6

-7-

§ 3. Сечение цилиндра, радиус основания которого не 1, а угол наклона с плоскостью окружности 45º.

Теперь, если исходный прямоугольник свернуть в прямой круговой цилиндр не единичного, а некоторого другого радиуса а и произвести с этим цилиндром аналогичные операции, то в результате также получится синусоида, но задаваемая формулой у = а·sin , что очевидно из рис.7.

рис.7

Известно, что график кривой у=а·sin подобен графику y=sinx и получается из него сжатием или растяжением в а раз в направлении осей Ох и Оу. Например, график функции у=2sin получается из графика у=sinx растяжением в 2 раза по обеим осям-рис.8.

рис.8

-8-