Координати вектора

З шкільного курсу математики відомо, що прямокутна система координат на площині визначається прямокутним базисом та точки О (мал.3); - одиничний вектор осі абсцис (Ох); - одиничний вектор осі ординат (Оу);

О – початок координат.

Теорема: довільний вектор площини можна розкласти єдиним образом за базисними векторами, тобто . Коефіцієнти х та у цього розкладу називаються координатами вектора в даній системі координат та пишуть: .

Координати точки А (мал.3) співпадають з відповідними координатами вектора .

Якщо йдеться про систему координат у просторі, тоді прямокутна система координат визначається базисом , де - одиничний вектор осі аплікат (Оz). Тоді теорема матиме схожий вигляд.

Теорема: довільний вектор простору можна розкласти єдиним образом за базисними векторами, тобто . Коефіцієнти х , у та z

цього розкладу називаються координатами вектора в даній системі координат та пишуть: .

Якщо у вектора задані координати його початку та кінця, тоді щоб знайти його власні координати, необхідно від координат кінця вектора відняти координати початку. Тобто, якщо та , тоді вектор у просторі має координати: . Якщо вектор розглядається на площині, тоді .

Довжина вектора дорівнює квадратному кореню від суми квадратів його координат. Вектор у просторі: , тоді його абсолютна величина обчислюється за формулою: .

Вектор на площині: , тоді його абсолютна величина обчислюється за формулою: .

Якщо вектор заданий координатами його початку та кінця та , тоді (для простору). Або для площини.

Приклад 1.

Абсолютна величина вектора дорівнює 13, так як .

Відповідь: 13.

Приклад 2.

Знайти периметр трикутника з вершинами А(3;-2;8), В(-1;0;6), С(5;1;-7).

Розв'язання.

Відповідь:

Додавання векторів

1. Правило трикутника.

Сумою векторів та називається вектор .

Теорема: Які б не були точки А, В, С має місце рівність . Векторна рівність (мал.4) називається правилом трикутника додавання векторів.

2. Правило паралелограма.

Сума векторів та (мал.5) знайдена за правилом паралелограма.

Вектором, протилежним вектору , називається вектор ; координати цих векторів протилежні за знаками: та . Сума двох протилежних векторів дорівнює нуль-вектору: .

3. Віднімання векторів.

Різницею векторів та називається сума вектора та вектора , протилежного до : .

Якщо вектори та відкладені від однієї точки О (мал.6), тоді для знаходження різниці доцільно користуватися формулою: .

Множення вектора на число

Добутком вектора на число називається вектор .

Теорема: Абсолютна величина вектора дорівнює добутку . Напрямок вектора при співпадає з напрямком вектора , якщо , та протилежний напрямку вектора , якщо .

На мал.7 зображені вектори , .

Добутком нульового вектора на довільне число та добутком довільного вектора на нуль називається нульовий вектор.

Теорема: Для того, щоб вектори та були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб існувало число , яке б задовольняло умові: . Тобто відповідні координати колінеарних векторів пропорційні. І навпаки, якщо відповідні координати двох векторів пропорційні, тоді вектори колінеарні: для векторів та виконується , тоді вони колінеарні.

Приклад 3.

Знайти значення m та n, при яких вектори a(15;m;1) и b(18;12;n) є колінеарними.

Розв'язання.

За умовою колінеарності векторів , тоді . Тобто , тоді , аналогічно, .

Відповідь: .

Приклад 4.

Дані вектори . Визначити довжину вектора .

Розв'язання.

Спочатку знайдемо координати векторів та , потім додамо їх:

Знайдемо абсолютну величину отриманого вектора:

.

Відповідь: 25.