Матрицы. Операции над матрицами.

Определение 13. Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов.

Если т = п, то матрица называется квадратной порядка п. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, лежащие вне главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица называется единичной (Е), если все элементы, лежащие на главной диагонали равны единице.

1. Умножение матрицы на число.

Определение 14. Произведением матрицы A на число называется матрица ,элементы которой для ; .

Пример. Вычислить 7А, если .

Решение. .

2. Сложение матриц.

Определение 15. Суммой матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой для ; .

Пример. Вычислить С = А + В, если , .

Решение. .

3. Транспонирование матриц.

Определение 16. Транспонирование матрицы есть переход матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Ранг матрицы и элементарные преобразования

Матрицу размера можно рассматривать как систему, состоящую из т векторов-строк (векторов пространства ), или как систему, состоящую из п векторов-столбцов (векторов пространства ).

Определение 17. Рангом системы строк (столбцов) матрицы , содержащей строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов).

Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие.

Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Из определения следует, что ранг матрицы размера есть целое число, заключенное в пределах от 0 до т. Причём r(A) = 0 только лишь в том случае, когда A = 0.

Элементарными преобразованиями над строками матрицы называется любое из следующих действий:

1. Вычеркивание нулевой строки (если таковая имеется)

2. Перестановка строк

3. Умножение любой строки на число

4. Прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число.

Лемма. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

Определение 18. Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид

Ранг ступенчатой матрицы равен r , т.к. имеется r линейно независимых вектор-строк матрицы А .

Ранг матрицы вычисляется путём приведения к её к ступенчатому виду

Пример. Найти ранг матрицы А.

Т.к. в матрице ступенчатого вида осталось 2 строки, то ранг равен 2.

Умножение матриц.

Определение 19. Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (условие согласованности). Тогда произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы :

Пример. Вычислить произведение матриц , где

, .

Решение. Найдем размер матрицы произведения , следовательно, умножение возможно. , .

= .