Свойства определителей

Если какая-либо строка (столбца) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.
Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число ,то ее определитель умножится на это число .

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки (столбца) в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель всех элементов.

При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: .
При перестановки двух строк(столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
Если матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.
Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.
Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0.
Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.
Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки(столбца) на числа
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: – матрицы п –го порядка.

Применение определителей

1. Критерий невырожденности квадратной матрицы

Определение. Квадратная матрица А называется невырожденной, если её строки линейно независимы, и вырожденной в противном случае.

Условие невырожденности квадратной матрицы А порядка п, как нетрудно видеть, равносильно тому, что ранг матрицы А равен п.

Теорема. Для любой невырожденной матрицы А существует обратная матрица .

Теорема. Квадратная матрица А невырождена тогда и только тогда, когда её определитель .

2. Нахождение ранга матрицы

Ранг матрицы находят либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор k-го порядка матрицы , отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор , т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен .

3. Критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, состоящей из n уравнений

Для того, чтобы однородная система линейных уравнений с неизвестными (матрица системы A – квадратная) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю: .