Задание 1 (№16, егэ 2015 г).

В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми и .

Решение.

а) В треугольнике имеем:

,

поэтому треугольник прямоугольный с гипотенузой и прямым углом . Аналогично, из равенства

получаем, что . Так как прямая перпендикулярна прямым и , прямая перпендикулярна плоскости .

б) На прямой отметим такую точку , что — параллелограмм, тогда и . Найдём угол . По теореме Пифагора:

; и .

По теореме косинусов:

; ; .

Искомый угол равен . Ответ: б)  .

Задание 2 (№16, егэ 2015 г).

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 60, а боковое ребро равно 37. Точки и — середины рёбер и соответственно. Плоскость содержит прямую и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость делит медиану основания в отношении , считая от точки .

б) Найдите расстояние от вершины до плоскости .

Решение.

а) Прямая параллельна плоскости , поэтому сечение пересекает плоскость по прямой , параллельной . Рассмотрим плоскость . Пусть — точка пересечения этой плоскости и прямой , — точка пересечения этой плоскости и прямой , — центр основания пирамиды. Плоскости и перпендикулярны плоскости , поэтому прямая перпендикулярна плоскости , а значит, параллельна прямой . Поскольку — средняя линия треугольника , точка является серединой . Следовательно, — середина . Медиана треугольника делится точкой в отношении . Значит, .

б) Прямая перпендикулярна и , поэтому прямая перпендикулярна плоскости . Прямые и параллельны, значит, расстояние от вершины до плоскости сечения равно расстоянию от точки до плоскости сечения, то есть .

Ответ: б)  .

Примеры оценивания выполнения заданий 14

Пример 1.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12, а боковое ребро равно 8. Точки и — середины рёбер и соответственно. Плоскость содержит прямую и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость делит медиану основания в отношении , считая от точки .

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка , а основанием — сечение пирамиды плоскостью .

Ответ: б) .

Комментарий. Решения пункта б нет, а в пункте а нет обоснования того, что при делении на 6 равных частей мы обязательно попадем в нужные точки.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 2.

а) см. Пример 1, только «сторона основания равна 6, а боковое ребро равно ».

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды плоскостью .

Ответ: 12.

Комментарий.

Чертёж верный, но доказательство утверждения пункта а отсутствует и пункт б не выполнен. Хотя в тексте решения есть разумные выводы, которыми автор решения воспользоваться не смог. (Может создаться впечатление, что решение не до конца скопировано из оригинального текста работы. Нет, в работе действительно нет никакого продолжения.)

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 3.

а) см. Пример 1, только «сторона основания равна 6, а боковое ребро равно ».

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды плоскостью .

Ответ: .

Комментарий. Сечение построено верно и обоснованно получена величина отношения 5:1. В «Доказать» заявлено доказательство другого отношения, но эта описка никак не повлияла на дальнейшее. В п. б есть неверный ответ и зачеркнутое решение, т.е. нет решения.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 4.

В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины до плоскости . Ответ: .

Комментарий. Утверждение пункта а не доказано. В пункте б найдена высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, но никак не обоснованно, что это расстояние от точки до плоскости .

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 5.

В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью .

Ответ: .

Комментарий. Всё сделано аккуратно.

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 6.

В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины до плоскости .

Ответ: .

Комментарий. Обоснованно получено доказательство утверждения пункта а, хотя нет ссылки на признак перпендикулярности прямой и плоскости. Верно намечен путь вычисления расстояния от вершины до плоскости , но реализовать его не удалось.

Оценка эксперта: 1 балл.