7.2. Основы статистических методов анализа и расчета

В результате непосредственных наблюдений, измерений или реги­страции фактов получается множество данных, которые обра­зуют стати­стическую сово­купность и нуждаются в обработке, вклю­чающей систе­матизацию и клас­сификацию, расчет параметров, ха­рактеризующих эту совокупность, со­став­ление таблиц, графиков, иллюстрирующих процесс.

Реально на практике бывает достаточно трудно изучить все объекты статистической совокупности, поэтому для оценки всей совокупности используют данные выборки. Что такое выборка ? Выборка – это часть совокупности, которая достаточно полно может характеризовать всю совокупность по интересующему нас параметру. Основное требование к выборке – она должна максимально отражать изучаемые параметры всей совокупности. Отсюда выборка должна браться из разных мест совокупности, желательно хаотично, иметь достаточно большой объем. Например, на элеватор приходит грузовик с зерном, в грузовике 15 тонн зерна. Необходимо измерить влажность зерна. Достаточно трудно измерить влажность всего зерна, но можно взять по 100 грамм зерна в 6 местах кузова зерна, и имея 600 грамм зерна произвести измерение влажности этих граммов. Результат этого измерения с некоторой погрешностью можно считать влажностью всего зерна в кузове.

В теории статистики между характеристиками совокупности и выборки есть разница, но с увеличением объема выборки она уменьшается. Для практических расчетов с достаточной долей точности можно эту разницу не учитывать.

Как уже указывалось в разделе 5 основной характеристикой средства измерения является его погрешность. Погрешности бывают систематические и случайные. Для объективного получения величины погрешности и ее влияния на метрологический параметр объекта необходимо применять статистические методы.

В результате непосредственных наблюдений, измерений или регистрации фактов получается множество данных, которые обра­зуют статистическую сово­купность и нуждаются в обработке, вклю­чающей систематизацию и клас­сификацию, расчет параметров, ха­рактеризующих эту совокупность, со­став­ление таблиц, графиков, иллюстрирующих процесс.

Наиболее полную характеристику статистической совокупности дает функция распределения вероятностей случайной величины. Однако на прак­тике используют ограниченное количество числовых характеристик, называе­мых параметрами распределения. Эти пара­метры можно разделить на три класса, которые характеризуют: 1) центр группирования; 2) величину рассея­ния степень вариации; 3) форму распределения вероятностей.

Центр группирования. Одной из основных характеристик ста­тистической совокупности, дающей представление о том, вокруг ка­кого центра группируются все значения, является среднее арифме­тическое. Оно определяется из выражения:

(7.1.)

где Хi – измеренный параметр i – члена совокупности, n – ко­личество членов совокупности.

Величина рассеяния. Статические совокупности могут иметь близкие или даже одинаковые значения центра группирования, но отдельные значения ве­личин в них могут существенно отличаться, вследствие того, что разброс зна­чений относительно центра бывает разный. Самой элементарной характери­стикой рассеяния является вариационный размах R, определяемый по формуле

R=Xmax - Xmin (7.2.)

где Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значения ста­тистической совокупности.

Вариационный размах не всегда характерен, так как учитывает только крайние значения, которые могут сильно отличаться от всех других значений. Более точно рассеяние определяется с помощью показателей, учитывающих отклонение всех значений от среднего арифметического. Основным из этих показателей является среднее квадратичное отклонение результата наблюдений, которое еще называется стандартным отклонением. Оно определяе­тся по формуле

( 7.3.)

Это отклонение является наиболее распространенным и обще­принятым показателем вариации. Величина под корнем, то есть  ², называется диспер­сией. Дисперсия имеет самостоятельное значение во многих задачах математической статистики и относится к числу важнейших показателей ва­риации.

Показателем отклонения значения самого среднего арифметического яв­ляется среднее квадратическое отклонение среднего значения S, которое еще называют среднее квадратическое отклонение результата измерения или стандартной ошибкой.

(7.4.)

Форма распределения вероятности. Важнейший параметр статистической совокупности. Форма распределения зависит от характера и особенностей выполнения процесса, при котором получается совокупность. В производственном процессе достаточно часто проявляется нормальное распределение. Однако нормаль­ное распре­де­ление не является единственно возмож­ным. В зависимости от фи­зи­ческой при­роды случайных величин, некоторые из них на практике могут иметь рас­пределение другого вида, напри­мер, лога­рифмиче­ское, экс­поненци­альное, Вейбулла, Симпсона, Ре­лея, равной веро­ятности, треугольное и т.д.

Нормальное распределение проявляется при выполнении следующего условия- необходимо получить заранее заданный результат метрологического процесса, например размер диаметра вала при точении на токарном станке. Для достижения запланированного результата необходимо выполнение заданных технологических условий работы: оборудование, инструмент, режимы резания, квалификация работника, среда, заготовка и т.д. Это объективные условия. Также требуется выполнение субъективного условия: выполнение работником заданных правил, которые могут нарушаться осознано или случайно. Существует уравнение достижения цели:

(7.5.)

Y- параметр, который необходимо получить, в нашем случае размер диаметра вала, X – необходимые технологические условия для получения параметра Y, - случайные параметры, которые влияют на величину параметра Y, это может быть разная твердость заготовки, сбой в механике станка, не внимательность работника и множество других факторов, которые трудно или невозможно заранее предсказать.

Но может быть другая технологическая ситуация. Завод производит сборку автомобилей. Двигатели для автомобиля поставляют 3 разных завода А, Б и В, причем количество поставляемых двигателей у каждого завода одинаковое. Ресурс двигателя А= 100 тыс. часов, двигателя Б= 105 тыс. часов, двигателя В= 96 тыс. часов. Все эти параметры соответствуют нормативным требованиям. После установки двигателей, автомобили продаются потребителям. Если произвести замер функционального метрологического параметра автомобиля, зависящего от качества изготовления двигателей, например износ поршневых колец, то будет ясно видна закономерность разделения автомобилей на 3 равные группы. Ясно, что у автомобилей с двигателями В износ будет больше, а двигателей Б износ будет меньше. В данном случае имеем распределение с равной вероятность получения трех вариантов в статистической совокупности. Вероятность установки каждого варианта двигателя составляет 1/3 от всего количества изготовленных автомобилей.

Для характеристики формы распреде­ления обычно используют ту математическую модель, ко­торая наилучшим об­разом приближает к виду кривой распределения вероятностей, полученной при анализе экспериментально получен­ных данных.