7.3. Распределение Стьюдента
Нормальное распределение хорошо себя проявляет при достаточно большом количестве членов статистической совокупности, обычно их должно быть не менее 30. Для практики большой интерес представляет возможность судить о распределении случайных величин и определять производственные погрешности во всех изготовленных изделиях и погрешности научных экспериментов по результатам измерения параметров статистической совокупности полученным из партии малого объема, менее 30. Эта методика была разработана Карлом Госсетом в 1908 году и опубликована под псевдонимом Стьюдент.
Распределение Стьюдента симметрично, но более сплющено, чем кривая нормального распределения, и поэтому вытянуто на концах (Рисунок 7.8. ). Для каждого значения n имеется своя t – функция и свое распределение. Коэффициент z заменен в распределении Стьюдента коэффициентом t, значение которого зависит от заданного уровня значимости, который определяет какая часть реализации может находиться за пределами выбранной области кривой распределения Стьюдента и количества изделий в выборке. Значения коэффициента t сведены в таблицу 7.8.
Таблица 7.8 – Значения коэффициента Стьюдента
n-1 |
P |
||||
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
|
1 |
6,31 |
12,71 |
31,82 |
63,66 |
636,2 |
2 |
2,92 |
4,30 |
6,97 |
9,93 |
31,60 |
3 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
12,94 |
4 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
4,60 |
8,61 |
5 |
2,02 |
2,57 |
3,37 |
4,03 |
6,86 |
6 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
3,70 |
5,96 |
7 |
1,90 |
2,37 |
3,00 |
3,50 |
5,40 |
8 |
1,86 |
2,30 |
2,90 |
3,36 |
5,04 |
9 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
4,78 |
10 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
4,59 |
11 |
1,80 |
2,20 |
2,72 |
3,11 |
4,49 |
12 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
3,06 |
4,32 |
13 |
1,77 |
2,18 |
2,65 |
3,06 |
4,14 |
14 |
1,76 |
2,14 |
2,62 |
2,98 |
4,12 |
15 |
1,75 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
4,07 |
16 |
1,75 |
2,12 |
2,58 |
2,92 |
4,02 |
17 |
1,74 |
2,11 |
2,57 |
2,90 |
3,97 |
18 |
1,73 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
3,92 |
19 |
1,73 |
2,09 |
2,54 |
2,86 |
3,88 |
20 |
1,72 |
2,09 |
2,53 |
2,85 |
3,85 |
21 |
1,72 |
2,08 |
2,52 |
2,83 |
3,82 |
22 |
1,72 |
2,07 |
2,51 |
2,82 |
3,79 |
23 |
1,71 |
2,07 |
2,50 |
2,81 |
3,77 |
24 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,80 |
3,75 |
25 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,79 |
3,72 |
26 |
1,71 |
2,06 |
2,48 |
2,78 |
3,71 |
27 |
1,70 |
2,05 |
2,47 |
2,77 |
3,69 |
28 |
1,70 |
2,05 |
2,47 |
2,76 |
3,67 |
29 |
1,70 |
2,05 |
2,46 |
2,76 |
3,66 |
30 |
1,70 |
2,04 |
2,46 |
2,75 |
3,65 |
40 |
1,68 |
2,02 |
2,42 |
2,70 |
3,55 |
60 |
1,67 |
2,00 |
2,39 |
2,66 |
3,37 |
120 |
1,66 |
1,98 |
2,36 |
2,62 |
3,36 |
|
1,65 |
1,96 |
2,33 |
2,58 |
3,29 |
При больших n распределение Стьюдента асимптотически сближается со стандартным нормальным распределением. С приемлемой для практики точностью можно считать, что при n ≥ 30, распределение Стьюдента, которое иногда называют t – распределением, апроксимируется нормальным.
Рисунок 7.8.- Кривая Стьюдента
t – распределение имеет те же самые параметры, что и нормальное. Это среднее арифметическое Хср , среднее квадратическое отклонение σ и среднее квадратическое отклонение среднего S. Хср определяется по формуле (7.1.), S определяется по формуле (7.4) , а σ по формуле:
(7.8.)
Величина n-1 называется степенью свободы.