16. Корреляционно-регрессионный анализ

При исследовании социально-экономических явлений часто приходится иметь дело со взаимосвязанными показателями. Изучить, насколько изменение одного показателя зависит от изменения другого (или нескольких), - одна из важнейших задач статистики.

Следует различать функциональные и корреляционные связи.

Основными задачами при изучении корреляционных зависимостей являются: 1) отыскание математической формулы, которая бы выражала эту зависимость y от x; 2) измерение тесноты такой зависимости.

Возможны различные формы связи:

1) прямолинейная: = ;

2) криволинейная в виде:

а) = + (или высших порядков);

б) гиперболы: =

в) показательной функции: = и т.д.

Параметры для всех уравнений связи чаще всего определяют из так называемой системы нормальных уравнений, отвечающих требованию «метода наименьших квадратов» (МНК). Это требование можно записать как → min или, при линейной зависимости, = , → min . Найдя частные производные указанной суммы по и и приравняв их к нулю, получим систему уравнений, решение которой и дает параметры искомого уравнения регрессии:

Если связь выражена параболой второго порядка = + , то система нормальных уравнений для отыскания параметров , и , выглядит следующим образом:

Вторая задача - измерение тесноты зависимости – для всех форм связи может быть решена с помощью исчисления теоретического корреляционного отношения (η): = .

Линейный коэффициент корреляции можно выразить и другими формулами: 𝑟 = ; 𝑟 = или 𝑟 = .

Линейный коэффициент корреляции может принимать по модулю значения от 0 до 1 (знак «+» при прямой зависимости и знак «–» при обратной зависимости).

Задача 1.

Пусть по 10 однотипным предприятиям имеются следующие данные о выпуске продукции (𝑥) в тыс. ед. и о расходе условного топлива (𝑦) в тоннах (графы 1 и 2 таблицы).

Требуется найти уравнение зависимости расхода топлива от выпуска продукции и измерить тесноту зависимости между ними.

Решение.

𝑥	𝑦			=1,16+0,547
5 6 8 8 10 10 14 20 20 24	4 4 6 5 7 8 8 10 12 16	25 36 64 64 100 100 196 400 400 576	20 24 48 40 70 80 112 200 240 384	3,9 4,4 5,5 5,5 6,6 6,6 8,8 12,1 12,1 14,3	16 16 36 25 49 64 64 100 144 256
125	80	1961	1218	80	770

1) Рассматривая уравнение регрессии в форме линейной функции вида = + , параметры данного уравнения найдем из системы нормальных уравнений , а необходимые для решения суммы рассчитаны выше в таблице. Подставляем их в уравнение и решаем систему: , = 1,16 и

Отсюда =1,16 + 0,547 .

Подставляя в это уравнение последовательно значения 𝑥 = 5, 6, 8, 10 и т.д., получаем выравненные (теоретические) значения результативного показателя (графа 5 таблицы).

Поскольку параметры уравнения регрессии являются оценочными, то для каждого из них рассчитывается средняя ошибка, т.е. .

Конкретный расчет ошибок для и по данным нашего примера приведен далее.

2) Для измерения тесноты зависимости между 𝑦 по 𝑥 воспользуемся прежде всего линейным коэффициентом корреляции :

находим = 121,8; = 8; = 196,1, = 77,

= = = =

= = = .

Отсюда по формуле 𝑟 = 𝑟 = =

- характеризует не только меру тесноты зависимости вариации 𝑦 от вариации 𝑥 , но и степень близости этой зависимости к линейной;

При расчете коэффициента корреляции, особенно если он исчислен для небольшого числа наблюдений (𝑛), очень важно оценить его надежность (значимость). Для этого рассчитывается средняя ошибка коэффициента корреляции ( = , где ( ) – число степеней свободы при линейной зависимости.

А затем находится отношение коэффициента корреляции к его средней ошибке, т.е. 𝑡 = , которое сравнивается с табличным значением 𝑡 –критерия Стьюдента.

В рассматриваемом примере средняя ошибка коэффициента корреляции: = = = = = 0,028, 𝑡 = =

По таблице приложения находим, что при числе степеней свободы

𝑘 = 10 – 2 = 8 и уровне значимости α = 0,05 табличное 𝑡 равно 2,306, т.е. 𝑡_табл = 2,306.

Поскольку фактическое (расчетное) 𝑡 больше табличного, т.е. 𝑡_факт > 𝑡_табл , то линейный коэффициент корреляции 𝑟 = 0,96 считается значимым, а связь между 𝑥 и 𝑦 - реальной.