11. Исследовать на сходимость .

12. Написать ряд Фурье функции на отрезке

13. Найти области сходимости функционального ряда и его сумму. Исследовать сумму ряда на непрерывность

14. Найти , если

15. Найти дифференциал d²u, если u = x³ + y³ + xy(x - y)

16. Изменить порядок интегрирования в следующем повторном интеграле

17. Вычислить , где точка О имеет координаты (0;0), а точка А – координаты (1;1) , по следующим кривым:

а) ОА - отрезок прямой линии;

б) ОА - парабола, ось которой есть OY;

в) ОА - ломаная линия, состоящая из отрезка ОВ, оси ОХ и отрезка ВА, параллельного оси OY.

18. Применяя формулу Грина, вычислить следующий криволинейный интеграл:

, где - окружность с уравнением x² + y² = 4.

19. Вычислить предел: .

20. Существуют ли такие a и b, при которых функция

всюду непрерывна? Всюду дифференцируема?

21. Вычислить интеграл: .

22. Вычислить интеграл: .

23. Вычислить двойной интеграл , где область ограничена кривыми

24. Вычислить двойной интеграл где область ограничена линиями

25. Вычислить двойной интеграл где область есть круг с границей .

26. Найти изолированные особые точки функции

и выяснить их характер.

27. Найдите все значения суммы .

28. Вычислите вычет .

29. Вычислите вычет .

30. Вычислите интеграл .

Теория вероятностей и математическая статистика

1. В ящике имеется 6 деталей, среди которых 2 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятности того, что среди извлеченных деталей ровно одна окрашена.

2. В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй 4 белых и 5 черных шаров. Из первой урны взяли 2 шара, из второй 3 шара. Найти вероятность, что все вынутые шары одного цвета.

3. Студент знает ответы на 40 вопросов из 76. Найти вероятность того, что на экзамене он сможет ответить на оба вопроса из вытянутого им наудачу билета.

4. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Наудачу извлекают три пуговицы. Найти вероятность того, что они будут синего цвета.

5. Ребёнок играет с 10 буквами разрезной азбуки А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «математика»?

6. На отрезок АВ длины 5 наудачу брошено четыре точек. Найти вероятность того, три точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем 2, а одна – на расстоянии, большем 2.

7. На отрезке длины 6 наудачу выбирают две точки. Найти вероятность того, что сумма расстояний от этих точек до правого конца отрезка превзойдет 2.

8. Игральная кость подбрасывается три раза. Случайная величина ξ – количество выпадений тройки. Найти ряд распределения и функцию распределения случайной величины .

9. Случайная величина задана рядом распределения

Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

10. Плотность распределения непрерывной случайной величины в интервале (0,2) равна f(x)=0,5; вне этого интервала 0. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

11. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины :

.

Найти постоянный параметр , математическое ожидание случайной величины .

12. В результате наблюдений случайной величины получена выборка: 3,4,2,1,1,2,2,2,4,1,2,3,1,1,2,2,1,2,1,3. Найти выборочное среднее, несмещенную выборочную дисперсию.

13. Пусть , методом моментов найти оценку параметров и .

14. Пусть 4,3,1,2,2,1,2,2,4,1,2,3,1,1,2,2,1,2,3,1 – выборка из нормального распределения . Найти несмещенную оценку , несмещенную оценку .

15. Пусть – случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром 5, , . Построить реализации случайного процесса . Найти конечномерные распределения.

16. Найти стационарное распределение процесса размножения и гибели с пространством состояний , заданного интенсивностями: