Производная обратной функции.

Пусть – дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке X. Если переменную у рас­сматривать как аргумент, а переменную х как функцию, то новая функция является обратной к данной и, как можно показать, непрерывной на соответствующем промежутке Y.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не рав­ной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е. .

Производные высших порядков.

До сих пор мы рассматривали производную f'(x) от функции f(х), называемую производной первого порядка. Но производная f'(x) сама является функцией, ко­торая также может иметь производную.

Производной п–го порядка называется производная от произ­водной (п–1)–го порядка.

Обозначение производных: f "(х) – второго порядка (или вто­рая производная), f '"(х) – третьего порядка (или третья произ­водная).

Для обозначения производных более высокого порядка ис­пользуются арабские цифры в скобках или римские цифры, на­пример, f⁽⁴⁾(x),„,f⁽ⁿ⁾(x) и т.д.

Выясним механический смысл второй производной: вторая производная пути по времени есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент t₀.

Неявная функция и ее дифференцирование

Если функция задана уравнением , разрешенным относительно , то функция задана в явном виде. Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения , не разрешенного относительно .

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от по нет необходимости разрешать уравнение относительно : достаточно продифференцировать это уравнение по , рассматривая при этом как функцию , и полученное затем уравнение разрешить относительно .

Производная неявной функции выражается через аргумент и функцию .

Производная функции, заданной параметрически.

Пусть зависимость между аргументом и функцией задана параметрически в виде двух уравнений

, (1)

где – вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную , считая, что функции (1) имеют производные и что функция имеет обратную . По правилу дифференцирования обратной функции

(2)

Функцию , определяемую параметрическими уравнениями (1), можно рассматривать как сложную функцию , где . По правилу дифференцирования сложной функции имеем: . С учетом равенства (2) получаем

, ,

Полученные формулы позволяют находить производные от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости от .

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием: .

Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция , где и – заданные дифференцируемые функции от .

Прежде чем перейти к наиболее важным приложениям произ­водной при исследовании функций и построении их графиков, рассмотрим несколько теорем.