5.3 Исследование функций и построение графиков Возрастание и убывание функций

Напомним, что функция у=(х) называется возрас­тающей (убывающей) на промежутке X, если для любых х₁,х₂ Х, х₂>x₁ верно неравенство (x₂)>(x₁) [(x₂)<(x₁)].

Теорема (достаточное условие возрастания функции).

Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка X, то она возрастает на этом проме­жутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции).

Если произ­водная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторо­го промежутка X, то она убывает на этом промежутке.

Заметим, что необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке X, то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (не положительна) на этом промежутке: ’(x)0 (’(x)0), хХ, т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.

Экстремум функции

Материал этого параграфа наиболее ва­жен для решения задач исследования функций и построения их графиков. Выделим наиболее важные, "узловые", точки функ­ции, нахождение которых во многом определяет структуру графика. Это точки экстремума – максимума и минимума функции.

Определение 1. Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется нера­венство  .

Определение 2. Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравен­ство  .

Значения функции в точках и называются соответст­венно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Э кстремум функции часто на­зывают локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с доста­точно малой окрестностью точки . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может слу­читься, что минимум в одной точке больше максимума в дру­гой, например, на рис. .

Наличие максимума (или минимума) в отдель­ной точке промежутка Х вовсе не означает, что в этой точке функ­ция (x) принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят, имеет глобальный максимум (минимум)).

Необходимое условие экстремума. Если в точке дифферен­цируемая функция имеет экстремум, то в некоторой ок­рестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма, и, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю, т.е. . Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Так, например, функция имеет экстремум (минимум) в точке x=0, но не дифференцируема в ней .

Поэтому необходимое условие экстремума может быть сфор­мулировано следующим образом.

Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстрему­ма, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными). Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой–либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Очень важно, однако, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обя­зательно является точкой экстремума.

Таким образом, для нахождения экстремумов функции требу­ется дополнительное исследование критических точек. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.

Первое достаточное условие экстремума.

Теорема. Если при пе­реходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, то – точка минимума.

Отметим, что дифференцируемостъ функции в самой точке не использовалась . На самом деле она и не требуется – достаточно, чтобы функция была непре­рывна в точке .

Таким образом, достаточным условием существования экстре­мума в точке является изменение знака производной, т.е. уг­лов наклона касательных к кривой с острых на тупые или с тупых на острые при переходе через эту точку. Если изменения знака производной не происходит, то экстремума нет.

Схема исследования функции на экстремум.

1°. Найти производную .

2°. Найти критические точки функции, в которых производ­ная или не существует.

3°. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4°. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Второе достаточное условие экстремума.

Теорема. Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна, то есть точка минимума функции ; если отрицательна, то – точка максимума.

Схема исследования на экстремум функции с помо­щью второго достаточного условия в целом аналогична схеме, приведенной выше (совпадают полностью п.п. 1°, 2°, 4°). Отли­чие в п 3°, устанавливающем наличие экстремума: здесь необхо­димо найти вторую производную и определить ее знак в каж­дой критической точке.

Второе достаточное условие экстремума утверждает, что если в критической точке , то в этой точке имеется экс­тремум. Обратное утверждение, однако, неверно. Экстремум в критической точке может быть и при равенстве в ней нулю вто­рой производной.