§2. Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид

(1)

где - интенсивность поступления заявок в систему.

Плотность распределения длительностей обслуживания:

(2)

где - интенсивность обслуживания

Потоки заявок и обслуживание простейшие.

Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис. 4.1), у которого имеются два состояния:

- канал свободен (ожидание);

- канал занят (идет обслуживание заявки).

Рис. 4.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Обозначим вероятности состояний: - вероятность состояния «канал свободен»; - вероятность состояния «канал занят». По размеченному графу состояний (рис. 4.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

(3)

Система линейных дифференциальных уравнений (3) имеет решение с учетом нормировочного условия Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и имеет вид:

(4)

(5)

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность является относительной пропускной способностью системы q.

Действительно, - вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно , т. е.

, (6)

По истечении большого интервала времени (при ) достигается стационарный (установившийся) режим:

(7)

Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютной пропускной способностью (А) называется среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

(8)

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:

(9)

Данная величина P_отк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных. 

Пример. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживании являются простейшими. Определить в установившемся режиме предельные значения:

- относительной пропускной способности q;

- абсолютной пропускной способности А;

- вероятности отказа P_отк ;

Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.