Решение

1. Параметр потока обслуживании автомобилей:

2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей и , т. е.

3. Вычислим финальные вероятности системы:

4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

5. Относительная пропускная способность поста диагностики:

6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики

(автомобиля в час)

7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:

часа

9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

часа.

10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев

§4. Одноканальная модель с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания

Рассмотрим одноканальную СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания (т.е. ) Остальные условия функционирования СМО остаются без изменений.

Стационарный режим функционирования данной СМО существует при для любого и когда . Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого имеет вид

(20)

Решение данной системы уравнений имеет вид

(21)

где

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:

- среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:

(22)

- средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

(23)

- среднее число клиентов в очереди на обслуживании:

(24)

-средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:

(25)

Пример. Вспомним о ситуации, рассмотренной в примере 4.2, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.

Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:

- вероятности состояний системы (поста диагностики);

- среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);

- среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);

- среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;

- среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Решение

1. Параметр потока обслуживания и приведенная интенсивность потока автомобилей определены в примере 4.2:

_.

2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам

и т.д. Заметим, что определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10,7%, так как

3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в

очереди):

ед.

4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

час.

5. Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:

.

6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:

час.

7. Относительная пропускная способность системы:

, т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена. 8. Абсолютная пропускная способность:

Заметим, что предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди.

Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывающих автомобилей было равно трем (см. пример 4.2). Частота возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностики автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:

В рассматриваемом примере при и имеем

автомобиля в час 

При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять автомобиля.

Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуженных клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12ч. работы) поста диагностики. Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомобилей, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.