Примеры решения контрольных заданий
Пример 1.
,
;
;
;
;
.
.
Пример 2. Дана функция
,
точка
и
,
.
Найти:
2а) полный дифференциал при переходе из точки А в точку В.
2б) составить уравнение касательной
плоскости к поверхности
в точке
,
где
.
Решение.
2а) Найдём приращение аргументов
;
.
;
;
;
;
.
.
2б)
;
.
;
;
;
.
;
.
Уравнение касательной плоскости в точке
по 2.2
,
т.е.
или
.
Пример 3. Вычислить с помощью двойного
интеграла в полярных координатах площадь
фигуры, ограниченной кривой, заданной
уравнением в декартовых координатах
.
Решение: Переведем уравнение кривой
в полярные координаты
,
,
.
Тогда
,
,
,
.
– это полюс. Уравнение границы области:
.
Это выражение имеет смысл при
;
,
(т.к. при
,
получим
,
что не имеет смысла). Тогда
или
,
т.е.
,
т.е.
и
.
.
Учтем формулы приведения
,
и четность функций
,
,
поэтому
,
где
вычисляем
при изменении
от 0 до
.
По формуле 3.2.3 б)
.
Пример 4. Вычислить с помощью тройного
интеграла объем тела, ограниченного
указанными поверхностями
.
I.
–
плоскость
;
II.
– параболический цилиндр с образующей,
параллельной оси у;
III.
– параболический цилиндр с образующей,
параллельной оси z;
IV.
– параболический цилиндр с образующей,
параллельной оси z.
О
На плоскости
.
область D:
.
куб. ед.
у
–
D
х
1
-1
Задания к контрольной работе № 7 для зрф
Задание 1. Даны две функции
и
.
Для каждой функции проверить равенство
смешанных производных второго порядка
.
Задание 2. Дана функция
,
точки
и
.
Найти:
2а) полный дифференциал функции при переходе от точки к точке .
2б) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке на поверхности , где .
Задание 3. Вычислить с помощью
двойного интеграла в полярных координатах
площадь фигуры, ограниченной кривой,
заданной уравнением в декартовых
координатах
.
Задание 4. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела (по возможности) и его проекции на плоскость .
Варианты контрольных заданий
№ вар-та |
З а д а н и я |
||
1 |
1)
|
2)
|
|
3) |
4)
|
||
2 |
1)
|
2)
|
|
3) |
4)
|
||
3 |
1)
|
2)
|
|
3) |
4)
|
||
4 |
1) |
2)
|
|
3) |
4)
|
||
5 |
1)
|
2)
|
|
3) |
4)
|
||
6 |
1)
|
2) |
|
3) |
4)
|
||
7 |
1)
|
2)
|
|
3) |
4)
|
||
8 |
1) |
2)
|
|
3) |
4)
|
||
9 |
1)
|
2)
|
|
3) |
4)
|
||
10 |
1)
|
2)
|
|
3) |
4)
|
||
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
.
;
;
;
.
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.