Примеры

1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это уравнение с разделяющимися переменными 1.1.

а) ; б) ; в) ; г) ;

Решение .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения . Это однородное дифференциальное уравнение I порядка.Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения на .

Получим . Пусть ;

.

; . Вычислим

. Подставив , получим решение: .

3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это линейное уравнение I порядка вида 1.3. Замена , , , . Решаем , , , , . Подставляем , т.е. , ; , , , тогда решение .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Здесь , .

Проверим условие (1.4.3)

; .

Условие 1.4.3 выполнено, следовательно, уравнение является уравнением в

полных дифференциалах.

Решение. Интегрируем по при постоянном равенство .

Получим

Далее, по 1.4.2.

То есть .

Или , тогда .

По 1.4.6 .

По 1.4.4 .

5. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Решаем по 2.1).

Решение.

а) Однородное уравнение (2.1.1). Характеристическое уравнение .

б) Частное решение неоднородного уравнения (2.1.2) ; ; .

Ищем ; . Подставим в неоднородное уравнение:

.Приравниваем коэффициенты при и в левой и правой части тождества

. Итак, .

в) Общее решение: .

г) Найдём частное решение при начальных условиях (по 2.1.3): Из в) найдем

. Подставим начальные условия:

. Частное решение: при ; .

Варианты контрольной работы

Контрольная работа содержит 4 задания:

1. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения I порядка

2. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения I порядка.

3) Найти общее решение дифференциального уравнения порядка, предварительно убе-

дившись, что это есть уравнение в полных дифференциалах.

4. Найти частное решение дифференциального уравнения II порядка , удовлетворяющее начальным условиям .

.№ вар-та	Задания
1	1) ; 2) ; 3) ; 4)
2	1) ; 2) ; 3) ; 4)
3	1) ; 2) ; 3) ; 4)
4	1) ; 2) ; 3) ; 4)
5	1) ; 2) ; 3) ; 4)
6	1) ; 2) ; 3) ; 4)
7	1) ; 2) ; 3) ; 4)
8	1) ; 2) ; 3) ; 4)
9	1) ; 2) ; 3) ; 4)
10	1) ; 2) ; 3) ; 4)