3. Интеграл Дюамеля, экспоненциальный источник

3.1. Переходная характеристика:

3.2. Искомая функция напряжения на источнике тока:

4. Цепь второго порядка. При постоянном источнике тока J(t) = J после срабатывания ключа К₂ определяем напряжение . (Ключ К₁ давно уже сработал).

4.1. Используем упрощённый классический метод, когда дифференциальное уравнение для искомой функции не составляется.

4.1.1. Определяем независимые начальные условия (ННУ): при (Cхема до коммутации: установившийся режим, постоянный источник, С – разрыв, L – закоротка).

Находим: ; В.

Для построения графика определим В.

4.1.2. Определяем ЗНУ при (Схема после коммутации ключа К₂):

;

В – законы коммутации.

По законам Кирхгофа

В;

;

В;

;

Находим .

Записываем уравнения по законам Кирхгофа:

4.1.3. Определяем принуждённую составляющую при (Схема после коммутации ключа К₂: установившийся режим, постоянный источник, С – разрыв, L – закоротка);

В.

4.1.4. Определяем корень характеристического уравнения . Используем метод сопротивления цепи после коммутации: , причём , а .

.

4.1.5. Определяем постоянные интегрирования и :

или

В.

4.1.6. Окончательный результат –

где с – постоянная времени;

с – длительность переходного процесса;

с – период свободных колебаний.

4.1.7. На интервале времени при помощи MathCAD строим .

Ниже приводится расчет рассматриваемого примера в среде MathCAD.

4.1. Классический метод, постоянный источник, цепь второго порядка

4.1.1. Определяем независимые начальные условия:

4.1.2. Определяем зависимые начальные условия:

4.1.3. Определяем принуждённую составляющую:

4.1.4. Определяем корень характеристического уравнения:

4.1.5. Определяем постоянные интегрирования:

4.1.6. Окончательный результат:

Документ Mathcad

4.1.7. График искомой фунции

В результате преобразований

Т.е. результат совпадает с расчётом «вручную».

4.2. Используем операторный метод для определения .

4.2.1. Из расчёта установившегося режима до коммутации находим независимые начальные условия (п. 4.1.1):

; В.

4.2.2. В операторной схеме после коммутации используем метод наложения:

а) подсхема с источником тока :

б) подсхема с источником :

Операторное изображение искомого напряжения

4.2.3. По теореме разложения находим искомое напряжение

:

;

Проверка:

В.

Ниже приводится расчет рассматриваемого примера программой MathCAD.

Документ Mathcad

4.2. Операторный метод, постоянный источник, цепь второго порядка

4.2.1. Определяем независимые начальные условия:

4.2.2. Определяем изображение искомой функции:

4.2.3. Определяем оригинал искомой функции:

4.3. Методом переменных состояния находим .

4.3.1. Начальные условия:

; В; В.

4.3.2. По законам Кирхгофа составляем уравнения

состояния:

;

4.3.3. Решаем с использованием MathCAD методом Эйлера.

Пункт 4.3.3 можно решить методом Рунге – Кутта (смотри пример п. 1.11).

Документ Mathcad

Полученный график полностью совпадает с уже построенной зависимостью с использованием классического и операторного методов.

36