Операция пересечение множеств
Пересечением множеств А и В (обозначается А В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В.
А В={ x x А & х В}
Например: А = {a, b, d}, B = {b, d, e, h}.
А В = {b, d,}.
Аналогично определяется пересечение произвольной (в том числе бесконечной) совокупности множеств.
Если D E = , то говорят, что множества D и E не пересекаются.
Операция разность множеств
Разностью множеств А и В (обозначается А \ В или А В) называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В
А \ В = { x x А & х В }
Например: А = {a, b, d}, B = {b, d, e, h}.
А \ В = {a}.
В \ А = {e, h}.
Свойства операции разности:
1. В отличие от операций объединения и пересечения разность является строго двухместной операцией.
Она некоммутативна, т.е. А \ В В \ А.
Если А \ В = , то А В.
4.
5. Для разности справедлив закон дистрибутивности как относительно объединения, так и пересечения
Операция симметрическая разность множеств
С
имметрическая
разность
(записывается как А + В ) и определяется
следующим образом:
А
+ В = (А \ В)
(В \ А) = (А
В) \ (А
В)
=
= { x (x А & х В) V (х A & х В )}
Например: А = {a, b, d}, B = {b, d, e, h}.
А + В = {a, e, h}.
Свойства симметрической разности:
Симметрическая разность является строго бинарной операцией.
Учитывая, что
и
,
то:
3.
Коммутативность
4.
Ассоциативность
5.
Дистрибутивность относительно операции пересечения
Универсум
Если в некотором рассуждении или в рамках определенной ситуации все используемые множества являются подмножествами некоторого множества U, то это множество называется универсальным множеством (или универсумом) для данного рассуждения.
Свойства универсума:
Если X U, то X U = .
2. Если X U, то X U = U .
Дополнение множества
Дополнением
(до универсума) множества Х (обозначают
или
X) называют множество всех элементов, не принадлежащих Х, но принадлежащих U.
= {x x X}.
Свойства дополнения:
1.
.
=
.
.
.
.
.
.Если А = В, то
.
Если А В, то
.
Множество всех подмножеств (булеан)
Множество всех подмножеств множества А обозначают ß(А) и называется булеаном данного множества A.
(Джордж Буль (1815 – 1864 г.г. – основоположник алгебры логики)).
Т.е. по определению: ß(А) = {B | B A}.
Ясно, что ß(А) содержит как пустое множество Ø, так и само множество A.
Пример: пусть A = {a, d, c}.
Тогда ß(А) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}.
Очевидно, что если B A, то B ß(А) и наоборот.
Из нашего примера видно: если множество A = {a, d, c} содержит 3 элемента, то ß(А) содержит 23 = 8 элементов. В общем случае, если во множестве A n элементов, то в ß(А) 2n элементов.
Поэтому множество ß(А) часто называют множеством-степенью множества A.
Выполнение работы
Каждый студент получает номер задания для написания программы, реализующей конкретную задачу. Инструментарий не ограничивается.
Программа должна предусматривать ввод элементов множеств, (причем не повторяющихся элементов) и выдачу результатов.
Содержание отчета
1. Наименование и цель работы
2. Краткие теоретические сведения
3. Описание программы
4. Схема алгоритма
5. Текст программы
6. Контрольный пример
7. Выводы
Контрольные вопросы
1. Что такое множество?
2. Дать определение основных операций алгебры множеств:
- объединение;
- пересечение;
- разность;
- симметрическая разность.
3. Как определяется декартово произведение?
4. Что такое булеан?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2