2. Плоские установившиеся фильтрационные потоки

В самом общем случае давление и скорость фильтрации зависят от трех координат точки в пласте. Если давление и скорость фильтрации зависят только от двух координат, в каждой плоскости, перпендикулярной к третьей оси, поля скоростей и давлений будут одинаковыми. В этом случае фильтрационный поток называется плоским. Плоские потоки имеют место при работе одной или нескольких скважин в однородном горизонтальном пласте постоянной мощности[7].

Реальные месторождения разрабатываются не одной скважиной, их количество определяется из условия обеспечения заданного отбора из месторождения углеводородного сырья. Поэтому в фильтрационных расчетах, связанных с разработкой месторождений, необходимо рассматривать множество скважин, размещенных определенным образом на площади нефтегазоносности. При этом возникают гидродинамические задачи определения давления на забоях скважин при заданных дебитах, или наоборот, дебитов при заданных давлениях.

Рисунок 1.2.1. - Зависимость суммарного дебита от числа скважин.

При решении этих задач нужно учитывать, что при работе нескольких скважин наблюдается их взаимное влияние друг на друга – интерференция скважин. Это влияние приводит к тому, что при вводе в эксплуатацию новых скважин суммарная добыча на месторождении растет медленнее, чем увеличивается число скважин (рис. 1.2.1).

Поэтому, усложняя задачи с целью более адекватного описания процессов, происходящих на месторождениях углеводородного сырья, необходимо рассмотреть постановки и решения задач, когда одновременно работают не одна, а группы скважин. Наиболее простые постановки задач получаются в том случае, когда пласт предполагается плоским, а скважины считаются точеными источниками или стоками. При решении подобных задач широко используется предположение о потенциальности течения и метод суперпозиции (потенциала).

Течение называется потенциальным, если существует такая скалярная функция Ф, что градиент от нее равен вектору скорости , т.е. выполняется равенство , при этом скалярная функция Ф называется потенциалом.

Последнее равенство устроено аналогично закону Дарси

(1.2.1)

В самом деле, если и - константы, то

(1.2.2)

(1.2.3)

Поэтому фильтрационные течения в недеформируемых пластах ( жидкостей с постоянной вязкостью потенциальны.

3. Потенциал точечного стока и истока на плоскости и в пространстве. Принцип суперпозиций

Назовем точечным стоком на плоскости точку, поглощающую жидкость. Сток можно рассматривать как гидродинамически совершенную скважину бесконечно малого радиуса в пласте единичной толщины. На плоскости вокруг точечного стока будет радиальная картина движения. Точечный источник - это точка, выделяющая жидкость (модель нагнетательной скважины). Определим потенциал течения как функцию, производная которой с обратным знаком вдоль линии тока равна скорости фильтрации, т. е.

(1.3.1)

Из сравнения формулы (1.3.1) с законом Дарси:

видно, что потенциал для несжимаемой жидкости связан с давлением формулой

(1.3.2)

Найдем потенциал точечного стока на плоскости. Так как точечный сток является моделью добывающей скважины и течение вокруг него плоскорадиальное, то можно воспользоваться формулой объемной скорости , то

= (1.3.3)

где

- дебит скважины-стока, приходящийся на единицу толщины пласта.

Но для плоскорадиального потока:

Откуда

Проинтегрировав, получим выражение потенциала для точечного стока на плоскости:

(1.3.4)

где С - постоянная интегрирования.

Таким образом, потенциал в окрестности скважины-стока пропорционален логарифму расстояния г от стока (центра скважины). Если r = 0 и r= , то функция ln r обращается в бесконечность, поэтому потенциал в этих точках теряет смысл.

Для точечного источника справедливы все приведенные формулы, но дебит q считается отрицательным (q < 0).

Из формулы (1.3.4) следует, что линиями равного потенциала (эквипотенциалами) являются окружности r = const.

Найдем теперь потенциал точечного стока в пространстве. Движение вблизи такого стока будет радиально-сферическим. Поэтому скорость фильтрации

Откуда

и потенциал точечного стока в пространстве будет иметь вид:

(1.3.5)

Для потенциала точечного источника знак дебита в формуле (1.3.5) меняется на противоположный. Как следует из формулы (1.3.5), потенциал точечного стока в пространстве обращается в бесконечность при r = 0, а при r = остается конечным (и равным С).

Распределение давления и потенциала в установившихся потоках несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа, которое для плоских течений имеет вид

(1.3.6)

Поскольку уравнение Лапласа линейное и однородное, его решения обладают следующими свойствами: сумма частных решений есть также решение этого уравнения; произведение частного решения на произвольную постоянную есть также решение этого уравнения. На основании этих свойств в подземной гидромеханике разработан метод решения сложных задач, названный методом суперпозиции (методом наложения решений).

Математический смысл метода суперпозиции заключается в том, что если имеется несколько фильтрационных потоков с потенциалами

Ф₁(х,у), Ф₂(х, у},...,Ф_n(х, у), каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. ( при i =1,2,…n) , то и сумма (где С_i - произвольные постоянные) также удовлетворяет уравнению Лапласа.

Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что изменение пластового давления и потенциала в любой точке пласта, вызванное работой каждой скважины (нагнетательной или добывающей), подсчитывается так, как если бы данная скважина работала в пласте одна, совершенно независимо от других скважин, затем эти независимо определенные для каждой скважины изменения давления и потенциала в каждой точке пласта алгебраически суммируются[5].

Суммарная скорость фильтрации находится как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины, по правилам сложения векторов.

Рисунок 1.3.1 – Схема скоростей фильтрации в точке М при работе источников и стоков на неограниченной плоскости (а) и результирующий вектор скорости фильтрации в точке М (б).

Пусть на неограниченной плоскости расположено и источников и стоков (рис.1.3.1,а). Потенциал каждого из них в точке М определяется по формуле:

(1.3.7)

где r₁, r₂,... r_n - расстояния от первого, второго, ... n-то стоков до точки М;

С₁, С₂,..., C_n - постоянные.

Каждая из функций Ф₁, Ф₂,..., Ф_n удовлетворяет уравнению Лапласа.

Тогда сумма потенциалов:

(1.3.8)

также удовлетворяют уравнению Лапласа. Физически это означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника или стока накладываются друг на друга. В этом и заключается принцип суперпозиции, или сложения течений. Вектор скорости фильтрации в точке М равен:

(1.3.9)

Метод суперпозиции можно использовать не только в бесконечных пластах, но и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемую границу той или иной формы.

В этом случае для выполнения тех или иных условий на границах приходится вводить фиктивные скважины - стоки или скважины-источники за пределами пласта. Фиктивные скважины в совокупности с реальными обеспечивают необходимые условия на границах. При этом задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных скважин в неограниченном пласте. Этот метод называется методом отображения источников и стоков и используется в случае пластов, имеющих контур питания или непроницаемую границу произвольной формы[1].