1.2 Полное напряжение в точке некоторой площадки в массиве
С целью оперирования напряжениями при математических выкладках определим системы их обозначений: графическую и аналитическую (в виде тензора). При этом нормальные напряжения будем обозначать греческой буквой , а касательные . Эти напряжения представим на гранях бесконечно малого кубика вблизи некоторой точки 0 в массиве (рис. 1.1.) со следующими индексами, ориентирующими напряжения относительно осей координат:
x, y, z нормальные напряжения, параллельные осям x, y, z, на трех взаимно перпендикулярных площадках (гранях элементарного кубика), проведенных через данную точку, для которых внешние нормали соответственно параллельны осям x, y, z;
xy и xz касательные напряжения, параллельные оси x, на площадках с нормалями, соответственно параллельными осями y и z;
xy и xz касательные напряжения, параллельные оси y, на площадках с нормалями, соответственно параллельными осями x и z;
и
касательные
напряжения, параллельные оси z
на площадках с нормалями, соответственно
параллельными осям x
и y.
Составляющие напряжений на гранях бесконечно малого кубика (см. рис. 1.1.) образуют тензор напряжений:
(1.1)
т.е. совокупность компонентов напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках тела, находящегося в однородном напряженном состоянии.
В первой строке тензора (1.1) расположены все компоненты напряжений, имеющие направление, оси x, во второй и третьей строках – компоненты напряжений, параллельных осям y и x. В первом столбце сгруппированы напряжения, действующие на площадке, нормаль которой параллельна оси x, во втором столбце – все напряжения на площадке с нормалью, параллельной оси y, и в третьем столбце – на площадке с нормалью, параллельной оси z.
В связи с этим первый индекс у напряжений, расположенных в одной строке, является общим: для первой строки это x, для второй – y, для третьей – z (поэтому строки матрицы можно считать за направления). Вторые индексы у напряжений (для нормального напряжения тот же единственный индекс) являются общими по вертикали (адреса). Так, у первого столбца второй индекс x, у второго – y, у третьего – z.
Нормальное напряжение, вызывающие растяжение, считается положительным. За положительное касательное напряжение принимают положительное направление осей координат, если растягивающее нормальное напряжение на рассматриваемой площадке направлено в сторону, противоположную положительному направлению оси, то положительным касательным напряжением на этой площадке будет напряжение, направленное в сторону отрицательного направления оси.
На основании закона парности xy = yx, yz = zy, zx = xz, поэтому в тензоре напряжений, согласно выражению (1.1), всего шесть компонентов.
Для однозначности определения полного напряжения, как и других понятий теории упругости и пластичности, примем следующие основные термины: волокно – совокупность точек, расположенных вдоль некоторой линии; линейный элемент тела – дифференциально малый отрезок какого-либо волокна; слой тела – совокупность точек, располагающихся на некоторой поверхности; элементарная площадка тела – бесконечно малый элемент какого-либо слоя.
Интенсивность, или напряжение внешних (поверхностных) и внутренних сил, представляет собой величину усилия, приходящегося на единицу поверхности, по которой действуют силы.
Рассмотрим например обозначения интенсивности (напряжения). Пусть имеется некоторое тело, находящееся в равновесии под действием внешних сил, опорных реакций, объемных сил (сил тяжести, инерции и т.д.). Тело определенным образом ориентировано относительно декартовой системы координат (рис. 1.2). Рассматриваемая точка находится на какой-либо элементарной площадке (например, на поверхности тела), внешняя нормаль к которой у этой точки v не параллельна ни одной из координатных осей x, y, z.
Направление интенсивности
усилия или полного напряжения в этой
точке,
совпадает с усилием на этой площадке.
Очевидно, что
где усилие, приходящееся на рассматриваемую элементарную площадку F.
Кроме того, можно записать
(1.2)
где
,
и
проекции
на координатные оси (рис. 1.2).
Между интенсивностью внешней нагрузки, действующей на какую-либо площадку тела, и компонентами напряжений внутри тела в окрестности точки приложений силы существует определенная зависимость. Для отыскания этой зависимости необходимо выделить бесконечно малый элемент тела вблизи рассматриваемой точки и составить для него уравнения равновесия.
Чтобы определить форму такого элемента мысленно рассечем тело рядом параллельных координатным осям плоскостей. Тогда тело будет представлять собой совокупность ряда элементарных параллелепипедов внутри тела и элементарных тетраэдров на поверхности (рис. 1.3).
Для оценки равновесия всего тела следует рассмотреть равновесие отдельно элементарных тетраэдров и элементарных параллелепипедов вблизи каких-либо выбранных точек, а затем сложить, т.е. проинтегрировать дифференциальные уравнения равновесия элементарных объемов.