29.Вписанная и описанная окружность

Окружность и треугольник

центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

r =  ,где S — площадь треугольника, а  — полупериметр;

• центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров

• центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;

• центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.

Окружность и четырехугольники

• около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

 +   =   +   = 180°;

• в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

a + c = b + d;

• около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;

• около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;

• в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.