2.Оптимізація пакету з двох різних видів акцій.

Як правило, розсудливий інвестор шукає такі можливості розміщення капіталу, за яких зі збільшенням норми прибутку одночасно зменшувався ступінь ризику. Такі можливості дає йому формування портфеля цінних паперів. Вона характеризує взаємозв’язок між нормами прибутку ЦП.

Припустимо що портфель утворюють дві різні акції А та В:

Види акцій	Норма прибутку	дисперсія	середньоквадратичне відхиленя
А	m1	D1	1
В	m2	D2	2

 Припустимо, що інвестор володіє портфелем, до якого входить 100 акцій певної дніпропетровської фірми (А) та 200 акцій певної київської фірми (В).

Ціна однієї акції А – 500 тис грн., В – 200 тис грн. Знайдемо частку вартості кожного виду акцій в портфелі :

 

Очевидно, що частка кожної є величиною 0  х  1 .

х₁ + х₂ = 1 2.1

Частки можна трактувати як частини від одиниці капіталу (грошей), що вкладені у відповідний вид цінних паперів. Знаючи сподівані величини норми кожної з цих акцій та їх частки в портфелі, легко визначити сподівану норму прибутку портфеля з двох акцій за формулою:

m_p = m₁х₁ + m₂х₂  2.2.

де m_p — норма прибутку портфеля двох різних акцій.

Норма прибутку портфеля з двох різних акцій є зваженою середньою нормою прибутку кожного виду акцій, причому ваговими коефіцієнтами виступають частки цих акцій (в грошовому обсязі) в портфелі .

Приклад. Інвестор володіє портфелем, що складається з двох акцій А та В з нормами прибутку 200% та 250% відповідно, причому частка акцій А становить 40% портфеля. Знайти сподіваний прибуток портфеля.

Розв’язання:

Норма прибутку портфеля з двох акцій завжди знаходиться в інтервалі, межами якого є норми прибутку акцій, що входять до портфеля .

Визначимо ризик (варіація і дисперсія) портфеля двох акцій:

2.3

— середнє квадратичне відхилення норми прибутку акцій першого виду;

— середнє квадратичне відхилення норми прибутку акцій другого виду;

₁₂ — коефіцієнт кореляції між акціями обох видів і визначається :

2.4

p_i — імовірність стану середовища;

R_1i — норма прибутку акцій першого виду;

m₁ — середня норма прибутку акцій 1-го виду;

R_2i — норма прибутку другого виду акцій;

m₂ — середня норма прибутку акцій 2-го виду.

1. Коефіцієнт кореляції –1  ₁₂  1.

2. |₁₂| вказує на силу взаємозв’язку норм прибутку акцій, тому чим вищою є абсолютна величина , тим сильніше між собою пов’язані ці акції (тобто 1, або -1), якщо ж |₁₂|0, то ці акції слабо пов’язані.

3. Знак коефіцієнта кореляції вказує на напрямок взаємозв’язку норми прибутку акцій; якщо ₁₂ >0, то додатна кореляція, при зростанні норми прибутку R₁ однієї акції зростає, зростає R₂ другої акції і навпаки.

Якщо ₁₂ < 0, то від’ємна кореляція, при зростанні норми прибутку R₁ однієї акції зростає, R₂ другої акції спадає.

На практиці додатна кореляція зустрічається частіше. Це пов’язано з так званою, силою прискорення ринку.

Маючи інформацію відносно норм прибутку акцій у минулому, коефіцієнт кореляції двох акцій приймає такий вигляд:

2.5

де T — к-сть попередніх періодів, для яких маємо інформацію;

R_1t — норма прибутку першого цінного паперу в t-му періоді;

R_2t —норма прибутку другого цінного паперу в t-му періоді;

m₁ — сподівана норма прибутку першої акції;

m₂ — сподівана норма прибутку другої акції;

₁ — ризик І-го цінного паперу;

₂— ризик ІІ-го цінного паперу.

Як видно ризик портфеля залежить не тільки від ризику кожного виду акцій, а і від кореляції цих акцій, тобто від ступеня взаємодії їх норм прибутку.

Далі більш детально проаналізуємо вплив кореляції на ризик портфеля, тобто відшукаємо оптимальну структуру портфеля, яка б забезпечила мінімальний ризик.

Так як x₁ + x₂ = 1 то x₂ =1 – x₁, підставимо в (2.3), отримаємо:

2.6

Мінімум ми можемо знайти, якщо прирівняти до нуля похідну , по х₁.

Отримаємо:

2.7

2.8

Проаналізуємо вплив кореляції на ризик портфеля. Для цього візьмемо за основу формулу (2.3):

, або

і проаналізуємо деякі основні випадки, коли ₁₂ рівне або 1, або 0.

Розглянемо випадок коли ₁₂=1 – це один з екстремальних випадків, що означає абсолютно додатню кореляцію між нормами прибутку двох акцій. Це має місце, коли розглядати акції підприємств, що виготовляють взаємодоповнюючі товари (автомобілі – шини), і норми прибутків від однієї акції змінюються прямо-пропорційно нормам прибутку від другої акції.

Підставимо значення коефіцієнта кореляції (дисперсії)

2.9

- це ризик портфеля, що у випадку абсолютно додатньої кореляції між нормами прибутків певних акцій, ризик портфеля є середньозваженою величиною ризику окремих видів акцій, що входять до його складу, а вагомими коефіцієнтами є частина цих акцій в портфелі.

Приклад: Дві акції А та В (1;2 ) мають сподівані норми прибутку m₁=12%, m₂=16% і ступені ризику ₁= 6%, ₂ =9% та коефіцієнт кореляції ₁₂=1.

Розв’язання:

Цей приклад можна проілюструвати графічно в двовимірному просторі.підставляючи різні значення x₁ і x₂, причому x₁+x₂=1, тобто змінюючи структуру портфеля, визначатимемо значення сподіваної норми прибутку та ризику множини усіх допустимих портфелів акцій.

Також слід зазначити, що точка А - відповідає портфелеві що складається лише з акцій А, а точка В – з акцій В. Середина відрізку АВ відповідає портфелеві, де обидві акції мають частку x₁ = x₂=0,5.

Випадок абсолютно додатньої кореляції акцій не дозволяє досягнути якогось суттєвого ефекту, зменшуючи ризик отримуємо прямопропорційне зменшення сподіваної норми прибутку і навпаки. Цей випадок нецікавий для інвестора, бо тут дуже обмежене поле для маневру.

ІІ ₁₂=–1 – екстремальний випадок означає абсолютно від’ємну кореляційну залежність між нормами прибутку 2-ох акцій.

Підставляємо формулу (2.3) отримаємо:

2.10

- показує, що ризик портфеля в цьому особливому випадку можна суттєво зменшити.

Якщо прирівняти до нуля, а цього можна досягти, коли

2.11

Тобто у випадку абсолютно від’ємної кореляції є можливість обрати таку структуру портфеля, котрий цілком позбавлений ризику.

Приклад той же.

А	В
m1=12%	m2=16%
σ1=6%	σ2=9%

₁₂=-1

Розв’язання:

Проілюструємо:

Для цього випадку множина всіх допустимих портфелів складається точок ламаної АСВ. Точки А та В відповідають портфелям, що складаються лише з одного виду акцій (А та В відповідно).

Слід зауважити що виходячи з точки А і збільшуючи в портфелі частку акцій В, отримуємо зростання норми прибутку і одночасно зменшення ступеня ризику.

В точці С маємо портфель з нульовим ступенем ризику.

Підставляючи відповідні значення в (2.11) одержимо, що x₁ =0.6, x₂ =0,4 а ризик портфеля рівний нулю при цьому m_р =13,6.

Розсудливий інвестор не обере портфель з АС, бо знайдеться кращий з СD.

Відрізок СD – множина ефективних портфелів.

ІІІ ₁₂ =0.

Цей випадок означає відсутність взаємозв’язку між акціями, тобто формування норми прибутку другої акції.

Підставляємо це значення в (5.2.3)

2.12

що є можливістю часткової реакції ризику портфеля двох акцій. Підставимо x₂=1–x₁ в (2.12), обчислимо першу похідну по x₁, і прирівняємо до нуля, цим ми дізнаємось значення мінімуму.

Розв’язавши отримаємо:

2.13

оптимальна структура портфеля.

Тоді підставимо значення в (2.12) і отримаємо:

2.14

мінімальне значення ризику.

Приклад :Нехай ми маємо дві різні звичайні акції А та В (1, 2) з:

m1=40%	m2=60%
1=5%	2=8%

і ₁₂=0

Обчислити та проаналізувати сподівану норму прибутку та ризик портфелів, які можливо сформувати з цих акцій.

Розв’язання:

підставимо значення в формули

m_р=х₁× m₂ + х₂× m₂ m_р=х₁× 40+ х₂× 60

Усі допустимі портфелі належать АВ

Точка А та В знову відповідають портфелям, в які входять лише акції виду А та В відповідно.

Відзначимо, що виходячи з точки А і збільшуючи частку В портфелі, отримуємо зростання норми прибутку і зниження ступеня ризику. Доходячи до точки С, отримуємо портфель з мінімальним можливим ступенем ризику.

Тоді частка акцій А та В в цьому портфелі за формулою (5.2.13) становить: x₁^*=0,72, x₂^*=0,28,

ризик портфеля

Мінімальний ризик

m_p=45,6

Збільшуючи надалі частку акцій В в портфелі (х₂>0.28) отримуємо подальшу норму прибутку портфеля. При цьому ризик теж зростає відносно своєї мінімальної величини.

З малюнка видно, що розсудливий інвестор напевно не обере жодного із портфелів з АС бо для кожного такого портфеля знайдеться кращий з СD – він кращий, бо при такому ж ступені ризику дає більш значні норми прибутку звідси випливає, що СВ – множинна ефективніших портфелів.

Зрозуміло, що залучення до портфеля, котрий складався лише з одного виду акцій, другого виду акцій, приводить до зниження ризику при одночасному зростанні норми прибутку

Такі дії інвестора називається диверсифікацією.

Розрізняють:

• “наївну” – без використання коефіцієнта _12,

• “розсудливу” –з врахуванням _12,.