5. Загальні засади теорії портфеля, оптимізація його структури.

Подамо лише постановку та класичний розв’язок задачі.

Найкраще співвідношення між приростом норми прибутку і зростанням ризику забезпечує портфель ЦП.

5.1

за умови:

Введемо обмеження до цільової функції . Для цього запишемо R_F, як:

5.2

Зробимо підстановку, отримаємо:

5.3

Необхідно коефіцієнти х_і, максимізують цю функцію. Цього можна досягнути за допомогою коли взяти похідну функції по х і прирівняти до нуля.

5.4

перемножимо ліву і праву частини на:

одержимо:

5.5



5.6

Введемо нові змінні:

5.7

підставимо в (5.6) і отримаємо:

, 5.8

Величини х_s визначають оптимальну структуру портфеля при заданому наборі ЦП і нормі прибутку R_F щодо паперу з фіксованим відсотком.

Проте при знаходженні розв’язків системи (5.6) деякі х_s, можуть бути від’ємними.

В цьому випадку:

1. або вважають, що х_і 0, і розв’язують дану задачу методом квадратичного програмування;

2. або не накладають умови невід’ємності, вважають, що х_і означає, що відповідні цінні папери необхідно продати на термін без покриття, тобто при їх відсутності у продавця на час продажу. Це гра на пониження

В загальному вигляді задача щодо оптимального інвестування в цінні папери допускає як позику, так і надання кредитів.

Позика — збільшує ресурси для інвестування а кредит – інвестування під фіксований відсоток.

Для спрощення вважають, що і кредит і позика здійснюється за тим же відсотком R_F.

Припустимо, що інвестор вирішив вкласти частину своїх засобів у певний портфель Е і крім цього надати кредит, чи взяти в борг під фіксований відсоток R_F.

Проаналізуємо:

Нехай х – частка від позичкового капіталу, котру інвестор розмісти у вигляді портфеля Е. (Х може бути і > 1, тобто користуються позичкою), тоді (1 – х) – частка засобів розміщених під фіксований відсоток.

Тоді сподівана норма прибутку від комбінацій з позичково-кредитною операцією буде визначена:

5.9

ризик , 5.10

де , і отже , тобто ризик портфеля 5.11

Тоді а сподіваний прибуток:

5.12

це є рівняння прямої і називається лінією ринку капіталів і характеризує портфелі, так із цінних паперів обмежених ризиком.

Коли відсутня позиково-кредитна операція, то х = 1, m_p = m_E, і _р=_Е.

точка Е лежить на MN (можна ефективних портфелів) і дотичній до цієї кривої прямій R_FE.

точкаЕ ( ) – називається ринковим портфелем.

На комбінації фінансового портфеля Е із позичково-кредитними операціями з фіксованими відсотками вздовж прямої у просторі .

Відрізок R_FE відображає рішення інвестувати певну частку власних засобів в портфель Е, а іншу частку віддати у вигляді позички під фіксований відсоток R_F. Вздовж [ЕК] розташовані рішення щодо позички додаткових засобів, а весь сумарний капітал інвестується в портфель Е.

Приклад. 5.1. Норма прибутку безризикових цінних паперів складає 15%, сподівана норма прибутку ринкового портфеля 40%, він обтяжений ризиком . Визначити сподівану норму прибутку інвестора при різних значеннях ризику.

mp = 35

mp = 65.