Содержание курса, наименование тем

Введение

Студент должен иметь представление о:

Роли математики в современном мире.

Раздел I. Функции, их свойства. Графики функций

1. Функции, их свойства и графики

Студент должен:

знать:

функция: основные понятия и свойства.

уметь:

строить графики функций; устанавливать важнейшие свойства функций; применять геометрические преобразования функций.

2. Понятие предела

Студент должен:

знать:

предел функции; первый и второй замечательные пределы; теоремы о пределах; правила раскрытия неопределенностей.

уметь:

вычислять пределы, применять первый и второй замечательные пределы для раскрытия неопределенностей.

Раздел II. Производная и её приложения

2.1. Производная и ее геометрический смысл

Студент должен:

знать:

определение производной, ее геометрический смысл, таблицу производных, правила вычисления производных, производную сложной функции, производную обратных тригонометрических функций.

уметь:

вычислять производные элементарных функции, производную сложной функции, производную обратных тригонометрических функций; производные высших порядков

2.2.Применение производной к исследованию функций

Студент должен:

знать:

возрастание и убывание функций; экстремумы функций; наибольшее и наименьшее значение функции; вогнутость кривой, точки перегиба; общую схему исследования функций.

уметь:

исследовать функцию с помощью производной; находить экстремум функции; находить наибольшее и наименьшее значение функции, вогнутость кривой, точки перегиба

Раздел III. Интеграл и его приложения

3.1.Неопределенный интеграл и методы его вычисления

Студент должен:

знать:

понятие первообразной и неопределенного интеграла; свойства интеграла, основные методы интегрирования, таблицу интегралов.

уметь:

интегрировать простейшие неопределенные интегралы различными методами.

3.2.Определенный интеграл и методы его вычисления

Студент должен:

знать:

формулу Ньютона-Лейбница, основные методы интегрирования; приближенные методы вычисления определенных интегралов; формулы вычисления площадей и объемов, длины дуги.

уметь:

вычислять определенные интегралы с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница; использовать методы для приближенных вычислений определенных интегралов; находить площади плоских фигур, объемы тел, длину дуги.

Пределы функций. Примеры решений

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Рассмотрим основные типы пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Попытаемся сначала сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел. 2. Научиться решать основные типы пределов.

Итак, что же такое предел?

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела  .  2) Записи под значком предела, в данном случае  . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно  , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ). 3) Функции под знаком предела, в данном случае  .

Сама запись   читается так: «предел функции   при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала  , затем  ,  , …,  , ….  То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое  ? Это тот случай, когда   неограниченно возрастает, то есть: сначала  , потом  , потом  , затем   и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией  ?  ,  ,  , …

Итак: если  , то функция   стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию    бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать   до бесконечности и смотрим на поведение функции:

Вывод: при   функция    неограниченно возрастает:

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться. В том случае, если  , попробуйте построить последовательность   ,  ,  . Если  , то   ,  ,  .

! Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом:  , то все равно  , так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?