1.2. Асимптотичні методи розв’язання сингулярно збурених задач конвективної дифузії

Розглянемо асимптотичний метод розв’язування сингулярно збурених крайових задач типу “конвекція-дифузія” [10, 11, 12]. А саме, для криволінійної чотирикутної області , обмеженої чотирма гладкими кривими , , , , які в точках перетинаються під прямими кутами, розглядатимемо таку модельну задачу процесу конвективної дифузії при фільтрації у відповідному однорідному пористому середовищі:

, (1.2.1)

, , ,

, , (1.2.2)

, , ,

, , (1.2.3)

де – концентрація розчинної речовини у фільтраційній течії у точці в момент часу , – біжуча точка відповідної кривої, – зовнішня нормаль до відповідної кривої, ( ) – малий параметр (він характеризує переваги одних складових процесу над іншими), – відповідно потенціал та компоненти його швидкості (швидкості фільтрації в пористому середовищі ), , , , , , – достатньо гладкі функції, узгоджені між собою на ребрах області ( ).

Шляхом введення гармонічної функції (функції течії), комплексно спряженої до , i заміною останніх двох граничних умов (1.2.3) на умови: , ( – невідомий параметр, повна витрата), дану задачу замінимо більш загальною задачею на конформне відображення фізичної області на прямокутник (область комплексного потенціалу) , ( коефіцієнт фільтрації) при відповідності чотирьох кутових точок (див. рис. 1). Поставлена задача розв’язана у роботі [13]. Аналогічні задачі для багатозв’язних областей розв’язані, зокрема, у роботі [14].

Припустивши, що задача (1.2.3) шляхом конформного відображення (або ) є розв’язаною, здійснюємо заміну змінних , у рівнянні (1.2.1) та умовах (1.2.2) і приходимо до відповідної “дифузійної задачі” для області :

а) б)

Рис. 1 Фізична область (а) та відповідна їй область

комплексного потенціалу (б)

, (1.2.4)

, , ,

, ,

де (потік через довільний поперечний переріз ) знаходиться в процесі розв’язку задачі фільтрації.

Розв’язок даної задачі з точністю знайдено у вигляді такого асимптотичного ряду [10, 15 – 18]:

, (1.2.5)

де – залишковий член, , ( ) – члени регулярної частини асимптотики, , ( ) – функції типу пограншару в околі (поправки на виході фільтраційної течії із даного пласта ), , , ( ) – функції типу пограншару відповідно в околах , (відповідно поправки на лініях течії та ), , , – відповідні регулятивні перетворення (змінні розтягів).

В результаті підстановки (1.2.5) у (1.2.4) і виконання стандартної процедури “прирівнювання” коефіцієнтів при однакових степенях одержано такі задачі для знаходження головної частини розв’язку і поправки :

(1.2.6)

(1.2.7)

Характеристичне рівняння, рівняння характеристик і загальний розв’язок задачі (1.2.6) записується у вигляді:

де  – довільна диференційована функція, довільна стала. Врахувавши початкову та крайову умови, її розв’язок запишеться у вигляді:

де функція обернена до по змінній . Використовуючи метод характеристик та врахувавши, що змінна у задачі (1.2.7) фігурує лише як параметр, знаходимо розв’язок :

Якщо в якості умов узгодженості функцій та виконується лише умова неперервності = , то функція (не кажучи вже про ) не буде достатньо гладкою вздовж характеристик . А тому функція (1.2.5) не задовольнить рівняння (1.2.6) в цій області .

З метою згладження цієї негладкості вздовж характеристики поступають таким чином. Спочатку замість цієї негладкої функції розглядають її згладження:

,

де .

Як неважко переконатись, функція задовольняє рівняння (1.2.4) з вказаною точністю , але порушує виконання початкової та граничних умов, які задовольнялись функцією . З метою усунення нев’язки у початкових та граничних умовах будують функцію: таким чином, щоб функція з точністю до задовольняла рівняння (1.2.16) та початковій і граничній умовам:

Перейшовши в даних співвідношеннях від змінних до змінних за формулами , та розклавши функцію в ряд Тейлора в околі , отримано для знаходження функцій такі задачі:

(1.2.8)

де

Очевидно, що =0. А замінивши в другій із задач (1.2.8) крайову умову на промені на крайову умову на промені матимемо з точністю , що .

З метою задовольнити другу із крайових умов будується зовнішня примежова функція в околі таким чином, щоб функція з точністю до задовольняла як дане рівняння, так і всі крайові умови. Для цього вводиться заміна (розтяг) .

Врахувавши співвідношення: , , перепишемо оператор у вигляді (у змінних ( )): .

Розкладемо в ряд Тейлора в околі :

Прирівняємо в рівності ( )=0 коефіцієнти при однакових степенях ε:

,

де . Тоді для визначення , і одержимо такі рівняння із відповідними умовами:

Тоді ,

,

де ,

.

З метою задовольнити умову будується зовнішня примежова функція таким чином, щоб функція з точністю до О(ε²) задовольняла як дане рівняння, так і всі крайові умови. Для цього вводять заміну (розтяг) , . Врахувавши ці співвідношення, а також співвідношення: , , перепишемо оператор у вигляді змінних ( ): .

Розклавши в ряд Тейлора в околі (за степенями ) і прирівнявши в рівності коефіцієнти при однакових степенях ε, матимемо такі рівняння для визначення , , .

де , , .

З метою задовольнити крайову умову побудуємо зовнішню примежову функцію аналогічно до того, як це було зроблено для примежової функції (для цього вводимо заміну ).

У випадку недостатньої узгодженості граничних умов вздовж ребер та кутових точок паралелепіпеда , , А.П. Власюком побудовані відповідні реброві та кутові функції. Звичайна погранфункція задачі (1.2.4) , яка забезпечує виконання граничної умови на , сама вносить нев’язки на границі , , . Погранфункції та , які слугують для виконання граничних умов на , , вносять неузгодженість в граничну умову на . Для ліквідації неузгодженостей, внесених погранфункцією на границю слугує кутова погранфункція , яка діє в околі ребра . Для ліквідації неузгодженостей внесених погранфункціями , та , в околі ребер та , слугують кутові погранфункції , , які діють відповідно в околах цих ребер. Неузгодженості, внесені кутовими погранфункціями та , в околах кутових точок і , ліквідують кутові погранфункції і , які, відповідно, діють в околах цих точок. Звідси асимптотичний розклад задачі (1.2.4) в цьому випадку шукаємо у вигляді:

,

де , , , – пограншарові змінні.

Як приклад, наведемо алгоритм знаходження кутової погранфункції .

1) Робимо наступну заміну змінних: , .

2) Розкладемо функцію в ряд по степенях :

Підставимо в рівняння (1.2.4) функцію та розклад в ряд за степенями . Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях , отримаємо такі задачі для знаходження функції :

де , , .

Для знаходження маємо задачу:

,

де – функція, що виражається через відомі члени ряду (1.2.5).

На підставі принципу максимуму для параболічних рівнянь переконуємось у тому, що .